2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程2学案新人教A版.doc

2.2.1椭圆及其标准方程(二)学习目标加深理解椭圆定义及标准方程，能够熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.知识点椭圆标准方程的认识与推导思考1椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？答案标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上.标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.思考2依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？答案把方程化为标准形式，与x2，y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上.思考3观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解 过程.答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(c，0)，F2(c，0).(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|MF2|2a列方程，并将其坐标化为2a.(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，引入字母b，令b2a2c2，可得椭圆标准方程为1(ab0).(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(c，0)，F2(c，0)的距离之和为2a，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.梳理(1)椭圆的标准方程的形式焦点位置形状、大小焦点坐标标准方程焦点在x轴上形状、大小相同ab0，b2a2c2，焦距为2cF1(c，0)，F2(c，0)1(ab0)焦点在y轴上F1(0，c)，F2(0，c)1(ab0)(2)方程Ax2By21表示椭圆的充要条件是A0，B0且AB.(3)椭圆方程中参数a，b，c之间的关系为a2b2c2.类型一椭圆标准方程的确定例1求焦点在坐标轴上，且经过A(，2)和B(2，1)两点的椭圆的标准方程.解方法一(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得此时不符合ab0，所以方程组无解.故所求椭圆的标准方程为1.方法二设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0且AB)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.反思与感悟求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点(，)；(2)焦点在y轴上，且经过两点(0，2)和(1，0).解(1)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0).由椭圆的定义知：2a 2，即a.又c2，b2a2c26.所求的椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0).又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所求的椭圆的标准方程为x21.类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例2如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹.解设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则xx0，y.因为点P(x0，y0)在圆x2y24上，所以xy4.把x0x，y02y代入方程，得x24y24，即y21.所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆.引申探究若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”，改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么？解设M(x，y)，P(x0，y0)，则xy4，(*)代入(*)式得x21.故点M的轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆.反思与感悟如果一个动点P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求P点的轨迹方程时一般用转代法来求解.基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1).(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.跟踪训练2如图所示，B点坐标为(2，0)，P是以O为圆心的单位圆上的动点，POB的平分线交直线PB于点Q，求点Q的轨迹方程.解由三角形角平分线性质得2.2.设Q(x，y)，P(x0，y0)，则(x2，y)2(x0x，y0y)，又点P在单位圆x2y21上.()2(y)21.点Q的轨迹方程为y21.1.方程y21表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为()A.(1，) B.(，) C.1，) D.(，1)答案A解析因为焦点在x轴上，故m1，故选A.2.设B(4，0)，C(4，0)，且ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)答案A解析由已知|AB|AC|BC|18，|BC|8，得|AB|AC|10.由椭圆的定义可知，点A的轨迹是椭圆的一部分，且2a10，2c8，即a5，c4，所以b2a2c225169，则椭圆方程为1.当点A在直线BC上，即y0时，A，B，C三点不能构成三角形.因此，顶点A的轨迹方程是1(y0).3.已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为_.答案1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得0，kAB，由题意，得x1x22，y1y22，kAB，又kAB，又c2a2b29，b29，a218，椭圆E的方程为1.4.在椭圆y21中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1，再次被椭圆反射后又回到F2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为_.答案4解析把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a，即4.5.ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b6，求顶点B的轨迹方程.解以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立直角坐标系，设A(3，0)，C(3，0)，B(x，y)，则|BC|AB|ac2b2|AC|12，B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且a6，c3，b227.故所求的轨迹方程为1(y0).1.两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：标准方程1(ab0)1(ab0)不同点图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)相同点定义平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹a、b、c的关系a2b2c22.所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在1与1这两个标准方程中，都有ab0的要求，如方程1(m0，n0，mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1类比，如1中，由于ab，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小).要区别a2b2c2与习惯思维下的勾股定理c2a2b2.40分钟课时作业一、选择题1.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析方程mx2ny21，即1表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件为即mn0.故选C.2.到两定点F1(2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点M的轨迹是()A.椭圆 B.线段 C.圆 D.以上都不对答案B解析|MF1|MF2|4|F1F2|，M的轨迹是以F1，F2为端点的线段，故选B.3.椭圆y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于()A. B. C. D.4答案C解析不妨设F1的坐标为(，0)，P点坐标为(x0，y0)，PF1与x轴垂直，x0.把x0代入椭圆方程y21，得y.|PF1|.|PF2|4|PF1|.4.已知椭圆1(ab0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线答案B解析由题意知|PO|MF2|，|PF1|MF1|，又|MF1|MF2|2a，所以|PO|PF1|a|F1O|c，故由椭圆的定义知P点的轨迹是椭圆.5.如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A.a3 B.a3或a3或6aa6，解得a3或a3或6am10，解得1m52m0，解得m.综上，m的取值范围为(1，)(，).12.点M(x，y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线x8的距离的比是12，求点M的轨迹 方程.解设d是点M到直线x8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P，