伪随机序列生成器.ppt

第六章 伪随机序列生成器,61 计算不可区分性,定义 6.1 一个概率分布族是由 的一个无穷子集I，称为指标集，和每个指标 对应一个概率分布 构成，其中Di为 的一个有穷子集。 定义 6.2 两个随机变量族 和 称为多项式时间不可区分，若对每个多项式时间概率算法M，每个正多项式p(n)和一切充分大的n有 （6.1）,定义 6.3 两个随机变量序列 和 的变差距离定义为 （6.3） 定义 6.4 称一个随机变量序列 是伪随机的，若它与 上的均匀分布随机变量序列是多项式时间不可区分的，其中设Xn取值于 集。,6.2 伪随机序列生成器的定义和性质,定义 6.5 一个伪随机序列生成器是一个确定性多项式时间算法G满足下列两个条件： 1)延伸性，存在一个正整数函数 使得对一切 有 ； 2)伪随机性，随机变量序列 是伪随机的，即它与均匀分布随机变量序列 是多项式时间不可区分的。 生成器G的输入x称为它的种子，要求将长n比特的种子延伸为长l(n)比特的序列，且该序列与长l(n)的随机比特序列是多项式时间不可区分的。l(n)n称为的延伸因子。,伪随机序列生成器的性质 (1)统计性质 定理 6.1 若是一个伪随机序列生成器，即满足定义6.5 中的条件，则随机变量序列 与 不是统计接近的。 (2)多项式延伸性 构造方法6.1，设G1为一确定性多项式时间算法，它将每个长n比特串延伸为一个长n+1比特串，p(n)n为任一多项式。我们用G1作p(n)次迭代，即置 为G1的初始输入，计算 ，其中 即 为输入 时G1输出的长n+1比特串。定义算法G为 ，它将一个n长比特串s延伸为一个p(n)长比特串x。由于G1是确定性多项式时间算法，故G也是确定性的多项式时间算法。,(3)不可预测性。 定义 6.6 随机变量序列 称为多项式时间不可预测的若对每个多项式时间概率算法M，每个正多项式p(n)和一切充分大的n有 （6.4） 定理 6.3 一个随机变量序列 是伪随机的（参看定义6.4）当且仅当它是多项式时间不可预测的。 (4)单向函数性。 定理 6.4 设G为一延伸因子l(n)的伪随机序列生成器，若对每对 满足 ，定义函数 ，则f为一强单向函数。,63 伪随机序列生成器的构造,6.3.1 用一般单向置换构造伪随机序列生成器 定理 6.5 设 为一11保长强单向函数， 为函数f的硬核谓词（多项式时间可计算）。定义 （b(x)和f(x)的连接），则G为一伪随机序列生成器。,632 用单向置换族构造伪随机序列生成器 定理 6.6 设多项式时间概率算法A,D,F定义一单向置换族 ， 为该单向置换族的硬核谓词族，q(n)及 ，G如构造方法6.2中所给。再设对每个 ，D(i)为在Di上均匀分布的随机变量，则G为一伪随机序列生成器，它将2q(n)长的种子(r,s)延伸为p(n)长的伪随机序列。,6.4 用伪随机序列生成器构造伪随机函数,定义 6.7 一个随机函数序列 是一个在函数集 中取值的随机变量序列，其概率分布为 ，即 ，特别地，一个随机函数序列称为真随机函数序列若其概率分布为 上的均匀分布，即对每个 有 ，记真随机函数序列为 。 定义 6.8一个确定性神图灵机是一个确定性图灵机（见定义4.4）附加一条磁带，称为神带，和两个特殊状态 ，sinv称为求神状态，sora称为神现状态。当一个神图灵机M输入x，存取函数 时，其计算也是一个形的有限或无限序列， ，其关系由读写头所处状态的转移函数和读写头动作的指令函数确定，若 ，则第j+1个形如定义4.4所给，若第j个形中的状态sj=sinv，且神带中的内容为 ，则第j+1个形中的状态sj+1=sora，且神带中的内容为f(q)，q称为M的提问，f(q)称为神的回答。神图灵机的输出M，记作Mf(x)，以及运行（计算）时间如定义4.4所定义。,定义 6.9 一个随机函数序列 称为伪随机函数序列若对每个多项式时间神概率图灵机M，每个正多项式p(n)和一切充分大的n有 （6.5） 构造方法6.3 ，设G为一个确定性算法，它将n长比特串s延伸为2n长比特串G(s)，定义函数G0(s)为G(s)的前n个比特，G1(s)为G(s)的后n个比特（即G(s)=G0(s)G1(s)）对每个 和每个 ，定义函数 (6.6) 定义随机函数 ，其中Un为 上的均匀分布随机变量（即s在 中按均匀分布随机抽取）， 即为所构造的随机函数序列。,65 伪随机置换的构造,定义 6.10 一个随机置换序列 是一个在置换集 中取值的随机变量序列，其概率分布为 ，即 ，特别地，一个随机置换序列称为真随机置换序列，若其概率分布为 上的均匀分布，即对每个 有 ，记真随机置换序列为 。 定义 6.11 一个随机置换序列 称为伪随机置换序列，若对每个多项式时间神概率图灵机M，每个正多项式p(n)和一切充分大的n有 （6.7）,定理 6.8 设Fn，t(n)， 如构造方法6.4中所给。