天水师范学院数学实验上机操作上机报告实验报告十四

天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称 矩阵的特征值与特征向量 所属课程名称 高等数学实验 实 验 类 型 上机实验 实 验 日 期 2012-5-31 班 级 09数应2班 学 号 291010825 姓 名 牛 小 英 成 绩 一、实验概述：【实验目的】学习掌握利用Mathematica(40以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量；利用特征值求二次型的标准形【实验原理】(1)命令Eigenvalues，给出方阵M的特征值(2)命令EigenvectorsM，给出方阵M的特征向量但是时输出中含有零向量，此时输出中的非零向量才是真正的特征向量(3)命令EigensystemM，给出方阵m的特征值和特征向量同样，有时输出的向量中含有零向量(4)调用“线性代数向量组正交化”软件包命令是LinearAlgebraOrthogonalization.m现在,对向量组施行正交单位化的命令GramSchmidt就可以使用了,命令GramschmidtA给出与矩阵a的行向量组等价的且已正交化的单位向量组【实验环境】1. 软件:联想系列电脑：Pentium(R)Dual-Core CPU E6600.3.06GHZ 2. 1.966B的内存 Windows-XP.SP3.3.Mathematica5.2二、实验内容：【实验方案】1求方阵的特征值与特征向量2. 矩阵的相似变换【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1求方阵的特征值与特征向量ClearM;M=1,2,3,2,1,3,3,3,6;EigenvaluesMEigenvectorsMEigensystemM用命令EigenvaluesM立即求得方阵M的特征值，命令EigenvectorsM立即求得方阵M的特征向量，命令EigensystemM立即求得方阵的特征值和特征向量例14.2求方阵M的特征值和特征向量(*Example14.2*)G=1/3,1/3,-1/2,1/5,1,-1/3,6,1,-2;EigensystemGG=1/3,1/3,-1/2,1/5,1,-1/3,6.0,1,-2;EigensystemG例14，已知：是方阵的特征值，求t (*Example14.3*)ClearA,q;A=2-3,0,0,-1,2-t,-3,-1,-2,2-3;q=DetA;Solveq0,t例144已知z=(1，1，一I)是方阵A=J 5 (*Example14.4*)ClearA,B,v,a,b,t;A=t-2,1,-2,-5,t-a,-3,1,-b,t+2;v=1,1,-1;B=A.v;SolveB10,B20,B30,a,b,t2-矩阵的相似变换若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角阵相似实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵P，使PAP为对角阵命令EigenVectorsA与EigensystemA给出还未经过正交化和单位化的特征向量因此要对特征向量进行正交化和单位化所用的命令是GramSchmidt 不过首先要输人调用软件包LinearAlgebraOrthogonalizationm的命令例14 5设方阵A=，求一可逆阵P，使P-1AP为对角阵ClearA,p;A=4,1,1,2,2,2,2,2,2;EigenvaluesA;p=EigenvectorsA/TransposeInversep.A.pjor=JordanDecompositionAjor1jor2例14 6方阵A是否与对角阵相似?ClearA;A=1,0,2,1;EigensystemA例147 Clearx,v;v=4,0,0,-2,2-x,-2,-3,-1,1;SolveDetv0,x例148对实对称矩阵A=LinearAlgebraOrthogonalization.mCleara,p;A=0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,2;EigenvaluesAEigenvectorsAp=GramSchmidtEigenvectorsA/Transpose例149求一个正交变换，化二次型为标准二次型的矩阵为f=Tablexj,j,4.A.Tablexj,j,4/Simplifyf/.Tablexj(p.Tableyj,j,4)j,j,4/Simplify【实验结论】（结果）1.用Mathematica命令求方阵的特征值和特征向量很方便，从而便于利用特征值求二次型的标准形。2.本次实验比较成功。 【实验小结】（收获体会）1.通过本次实验，我掌握了利用Mathematica命令求方阵的特征值和特征向量。2.通过本次实验，我掌握了利用特征值求二次型的标准形。3.通过本次实验，我学会了利用Eigenvalues命令求方阵的特征值。4.通过本次实验，我学会了利用Eigenvectors命令求方阵的特征向量。5.通过本次实验，我学会了利用Eigensystem命令求方阵的特征值和特征向量。三、指导教师评语及成绩：评 语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确. 成 绩： 指导教师签名： 批阅日期：附录1：源 程 序第一题ClearA;A=-1,2,2,2,-1,-2,2,-2,-1;EigenvaluesAEigenvectorsAEigensystemA-5,1,1-1,1,1,1,0,1,1,1,0-5,1,1,-1,1,1,1,0,1,1,1,0第二题ClearA;A=1,1,1,1,1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,-1,1;EigenvaluesAEigenvectorsAEigensystemA-2,2,2,2 -1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,0,0 -2,2,2,2,-1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,0,0第三题ClearA,qA=0-1,0,-1,0,0-2,0,-1,0,0-tq=DetASolveq0,t-1,0,-1,0,-2,0,-1,0,-t 2-2 t t1第四题ClearA,B,v,a,b,t;A=t-2,1,1,1,t-2,1,1,1,t-2;v=1,k,1;B=A.v;SolveB10,B20,B30,t,kt0,k1,t3,k-2第五题ClearAA=0,-1,2,0,1,0,1,-1,1EigensystemA 0,-1,2,0,1,0,1,-1,12,-1,1,1,0,1,-2,0,1,1,1,1第六题ClearA,P,x,v;A=2,0,0,0,0,1,0,1,0;v=-3,0,0,0,-1,-1,0,-1,-1-x;SolveDetv0,xx0EigenvaluesAP=EigenvectorsA/Transpose2,-1,1 1,0,0,0,-1,1,0,1,1Inversep.A.p/SimplifyTransposep.A.p/Simplify第七题LinearAlgebraOrthogonalizationClearA,C;A=1,2,4,2,-2,2,4,2,1;EigenvaluesAEigenvectorsA6,-3,-3 2,1,2,-1,0,1,-1,2,0C=GramSchmidtEigenvectorsA/TransposeTransposeC.CInverseC.A.C/SimplifyTransposeC.A.C/Simplify附录2：实验报告填写说明 1实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。2实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4实验环境：实验用的软、硬件环境。5实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再