王汝鹏 初旭东 孙瑛数学建模

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 曲阜师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王汝鹏 2. 孙瑛 3. 初旭东 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李刚 日期：2012年 9月9日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：36葡萄酒的评价模型摘要 本文是一个针对红白葡萄酒质量评价的问题，通过双因素试验的方差分析对两组评酒师评价结果的是否有显著性差异进行分析，然后对酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标进行统计分析及无量纲化处理，再对各指标进行灰色关联分析体系，并由得出的数据进行拟合做出图像，从而进行分析。最后针对各个问题建立模型，并求解。针对问题一：我们利用EXCEL统计功能的VARP功能对两组评酒员的评价结果的数据进行处理，并用“数据分析”的F-检验双样本方差进行显著性差异的比较。对建立双因素无重复（无交互作用）实验方差分析的模型，综合考虑系统误差和偶然误差。评价哪一组评酒师的评价结果更可靠。针对问题二: 首先我们运用MATLAB软件画出酿酒葡萄和葡萄酒理化指标的柱状图，可以较明显的看出葡萄酒及酿酒葡萄各种理化指标的所占比重的高低，然后再根据葡萄酒营养成分和原料对葡萄酒的影响，筛选出具有代表性的部分理化指标含量，选定母指标，建立灰色关联分析体系模型，进行无量纲化处理，最后综合各个指标的权重和各个指标的取值，建立综合评价模型。如下 其中权重 ，针对问题三：针对题目附件二中所给出的数据，我们运用Excel求出所有数据的均值，使均值能充分反映葡萄和葡萄酒的各项理化指标，葡萄与葡萄酒中存在的各项物质指标存在差异，因而我们根据各项指标综合的权重大小筛选出主要数据，运用Matlab软件对这些数据进行多项式拟合，然后对数据进行分析，得出存在的规律，进而得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。如图三、四所示。针对问题四：第一步我们根据题目所给出的附件二、三进行数据综合筛选，取出其中对葡萄酒质量存在重要影响的理化指标。同时根据问题一中的结果选择合适组别进行统计评出分数，得出较为准确的对葡萄酒的评价。然后将酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标的数据与葡萄酒评分的数据进行拟合，得出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量的关系，如图五、六所示。最后得出最终的结论。关键词：双因素试验方差模型 灰色关联分析 无量纲化 相关性 权重 多项式拟合 MATLAB 一、问题重述确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。4分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？二、模型的基本假设说明（一） 模型的基本假设 1、忽略年份对葡萄酒质量的影响； 2、忽略气象和土壤条件对酿酒葡萄及所酿葡萄酒质量的影响； 3、忽略人工操作对葡萄生产过程的影响；三、问题分析（一）.问题一：两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？1、问题分析评价“哪一组结果更可信”时，应考虑系统误差和偶然误差。系统误差较小、偶然误差小的结果比较可信。评酒师对每项指标的打分带有主观因素，根据大数定理，无穷多个评酒师的打分就是实际得分。考虑偶然误差时，通过统计学理论（t分布），求得置信区间，进行数据分析与比较。进行显著性检验时，用t检验法。2、模型具体假设（1）、假设附件1中葡萄酒品尝评价表是随机抽样取得的样本；（2）、忽略由样本推断总体时，由各种无法控制的随机因素引起的误差；（3）、假设用0、1分别表示不可信、可信。第一组可信，结果为（1，0）3、符号说明 表示第j组第k位评酒师对第l种红葡萄酒第i项指标的评分 表示第j组第k位评酒师对第l种白葡萄酒第i项指标的评分 表示同一组人对同一种红葡萄酒同一指标的评分的置信区间的跨度（置信上限与置信下限的差值） 表示同一组人对同一种白葡萄酒同一指标的评分的置信区间的跨度（置信上限与置信下限的差值）4、模型建立和求解（1）、用EXCEL统计的VARP功能分别对两组红白葡萄酒评分进行分析；（2）、分别对一、二组红白葡萄酒由VARP分析出的方差进行比较大小，方差小的记为1，方差较大者记为0.得出红葡萄酒第一组与第二组可信度比值10：17，白葡萄酒6：22。(3)、运用EXCEL软件数据分析F-检验 双样本方差分析，分别对红、白葡萄酒进行双样本方差分析。分析结果如下 表一： 表二： F-检验 双样本方差分析F-检验 双样本方差分析0.7666670.50.50.622222平均1.2025491.430794平均1.4307942.471466方差1.5034183.297948方差3.2979488.216682观测值279280观测值280279df278279df279278F0.455865F0.401372P(F=f) 单尾5.03E-11P(F=f) 单尾3.54E-14F 单尾临界0.820793F 单尾临界0.820827p，所以有显著性差异p，有显著性差异（4） 首先对葡萄酒品尝评分表的数据进行编号。设、分别是来自两个相互独立的正态总体的样本。分别为第一、第二个总体的样本均值。分别为第一第二个总体的样本方差。则其一个置信水平为（设=0.05）的置信区间为其中比较的大小，然后比较以及的大小，小者偶然误差小，风险系数小，可靠性高。由此可得两组评酒师对葡萄酒的同一指标的评分更可靠。5、结论综合1、2结果可得两组评酒员的评价结果有显著性差异，第二组评价结果的更可靠。（二）问题二：根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。1、 问题分析建立评价类数学模型，因为事物之间、因素之间关系比较复杂，特别是表面现象，变化随机性更容易混淆人们的直觉，掩盖事物的本质，使人们在认识、分析、预测、决策时得到不全面的信息，不容易形成明确概念，这都是灰色因素，灰色的关联性在起作用，因此用灰色关联分析体系对酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量关系。附表二数据繁多，含有大量无关数据，对模型进行求解前需要对数据用进行筛选，根据各理化指标所占比重制作下图，选出影响问题的主要因素见图一。图一（见附录一）2、 模型具体假设（1） 假设葡萄酒的质量仅仅与酿酒葡萄及葡萄酒的各项指标有关。（2）忽略芳香指数对葡萄酒质量的影响。符号解释 第j种葡萄酒样品中的第i种指标含量（i=1,2， n，j=1,2，28）； 第j种葡萄酒样品中的第i种指标含量无量纲化后的数值（i=1,2， n，j=1,2，28）；n 选取的理化指标数目（如红葡萄酒n=5）； 第j种葡萄酒的综合得分3、模型建立和求解（1）、用EXCEL软件画出每种葡萄酒和酿酒葡萄的各项指标含量柱状图。葡萄酒糖分和酸度是其重要指标，也是现实生活中认知度比较高的。综合两方面，选取部分指标（n个）作为决定葡萄酒或者葡萄是普通、优秀、特优的主要因素。（2） 、无量纲化处理由于各指标量纲的不同，指标值得数量级差别很大，为了用这些数据进行综合评价首先必须对原始数据进行无量纲化、无数量级的处理。（3） 、构建综合评价模型：由于灰色关联分析发现，关联度可由下表达式确定：（见附录二）其中： （4） 、综合评价需要各个指标的权重。综合各个关联度，用Matlab软件计算得到各指标的权重，并对其进行了归一化处理。 ， (5)、最后综合各个指标的权重和各个指标的取值，建立综合评价模型。可以得到28中酒的相对质量函数数值。(6)、算的葡萄酒和酿酒葡萄的求和作为葡萄酒进行分级的标准。表三：红葡萄酒 分级葡萄酒质量综合指标评语白葡萄酒 分级葡萄酒质量综合指标评语D 15中等D 30特优A 16特优根据分级，红葡萄酒中A级的有酒样品2、9、30.4、模型评价（1）、模型优点： 所建立的模型与实际紧密联系，由一些利用简单的模型就能达到很好的效果，有很好的通用性和推广性。 对数据进行了无量纲化处理，使得避免了运用数据时单位不统一的麻烦。论文中图形与数据相结合更具有说服力。 运用Matlab和EXCEL软件进行计算，可信度高。（2）、模型缺点：对葡萄酒综合指标计算处理的过程中，只关注了理化指标之间的关系，而忽视了酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的理化指标之间的关系。实际上酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的理化指标之间存在一定联系，使得误差增大，质量综合指标不准确。忽略了酿酒葡萄理化指标和葡萄酒的理化指标与葡萄酒质量的层次关系。在处理数据和求解过程中不可避免的出现各种误差，在一定程度上也影响到模型求解的精确度。5、模型优化采用层次分析方法对模型进行优化。评价指标关系图。评价指标关系图如下葡萄酒质量葡萄酒酿酒葡萄单宁等氨基酸等义其它因素花色苷单宁总酚等白葡萄 红葡萄 图二构造两两比较判断矩阵，比较一层n各个元素与上一层因素O的影响，因素两两比较。用表示和对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵来表示。进行一致性检验，计算各层元素对目标层的总排序权重。（三）问题三、分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。1、问题分析：对附表2的理化指标进行筛选，求各理化指标平均值。对葡萄的各类理化指标分别编号，对葡萄酒的各类理化指标分别编号，然后进行数据拟合。令则对于每一个Y，都有28组数据可以用来拟合，从而得到葡萄酒理化指标与葡萄理化指标的关系。2、模型具体假设：假设表格中给出的数据能够分别代表酿酒葡萄和葡萄酒的整体的理化指标。3、符号说明： 葡萄的各项理化指标： 葡萄酒的各类理化指标分别编号m 对葡萄的各项理化指标的编号n 对葡萄酒各项理化指标的编号4 模型建立与求解： 1、运用Excel对附件2中葡萄及葡萄酒的各项指标进行平均值的计算，由问题二的模型已筛选出总酚、花色苷、单宁等主要的五项理化指标。2、用Matlab对以酿酒葡萄理化指标为自变量，和以葡萄酒的理化指标为因变量的函数进行多项式拟合，得出红葡萄酒各个指标与葡萄之间的关系，得到如下五个图形： 图三（见附录三）根据图像可以看出不同红葡萄酒的各个理化指标与酿酒葡萄的关系不同,有的与酿酒葡萄大体呈递增函数，如红葡萄酒的单宁和酒总黄酮等理化指标与酿酒葡萄的函数，也有少数的红葡萄酒理化指标几乎不随酿酒葡萄质量变化而变化。白葡萄酒各指标与酿酒葡萄的关系图四白葡萄酒各项理化指标与酿酒葡萄关系函数和红葡萄酒各项理化指标与酿酒葡萄关系函数类似，在此不作具体说明。5、 模型评价：（1）、模型优点：对数据进行分析筛选出对模型影响较大的指标，简易数据输入，使运算简便。使用Matlab对数据进行拟合，实现了抽象关系到函数的变化，使其形象易懂。对多项理化指标进行分析，结果较为准确。（2）、模型缺点： 筛选出的数据不能很好的进行参考，产生一定的误差，影响分析结果。 所选数据中存在偶然误差及系统误差，对分析结果产生一定影响。（四）问题四：分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？1、 问题分析：由第一问得第二组更可信，只把第二组评酒员的数据作为参考，对问题一中的葡萄酒进行评分，分数Y=10-VRAP（样品i），并将Y作为因变量。根据各物质所占比重对附表三数据进行筛选，并将筛选出的数据与附表二结合，其总数据作为自变量X，然后用MATLAB对X,Y进行拟合，得到图像进行分析从而得出结论。2、 模型具体假设：假设题目所给的实验样本数据都具有代表性，不考虑地方差异性。3、 符号说明： X： 表示葡萄的第i项理化指标Y： 表示红、白葡萄酒的评分分数i： 表示葡萄的的指标编号4、 模型建立与求解：在解决问题三的基础上，将附表三的芳香物质纳入因变量中，用MATLAB软件对所筛选出来的数据进行拟合。得出葡萄酒的评分与酿酒葡萄和葡萄酒理化指标的关系。 图五（见附录四）图六由图五易看出，在（0,2）区间内，红葡萄酒的评分与葡萄的总酚函数不断接近与零，然后趋于稳定；在（5，+）区间内红葡萄酒的评分与葡萄的花色苷函数不断下降；红葡萄酒的评分与葡萄的1己醇不断上升；其他指标与红葡萄酒评分无明显关系。由图六易看出，在（0,4）区间内，白葡萄酒的评分与葡萄的总酚函数不断上升，最终无限接近于零；白葡萄酒的评分与葡萄的单宁和葡萄总黄酮呈单调递减函数；其他指标与白葡萄酒评分存在很弱的相关联性。5、 模型评价综上分析：部分指标葡萄和葡萄酒的理化指标可以一定程度上评价葡萄酒的质量，但不能完全依附其进行评价。葡萄和葡萄酒的理化指标存在相当一部分指标与葡萄酒的质量没有明显关系如：乙酸乙酯部分理化指标对葡萄酒的质量不具有参考性。若只凭葡萄酒和葡萄的理化指标评价葡萄酒的质量，具有很大的片面性。葡萄酒的质量不仅与葡萄和葡萄酒的客观指标有关联，还很大程度上取决于每个人的主观品味以及葡萄酒潜在的作用，如保健，美容，对疾病的辅助治疗作用。因此，在某种程度上可以借用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，如葡萄的总酚对红白葡萄酒质量的影响，葡萄花色苷对红葡萄酒的影响，葡萄的单宁和葡萄总黄酮对白葡萄酒质量的影响。同时也存在某些与其无很大相关性的理化指标，如：1己醇对红葡萄酒质量无明显影响、葡萄的乙酸乙酯对白葡萄酒质量无明显影响。四、模型推广与应用葡萄酒以其独特的营养成分，受到人们越来越多的青睐。味美香醇，老少兼宜的葡萄酒已不再是贫民百姓的奢侈品。市面上流通的众多葡萄酒令人眼花缭乱。此模型的建立便于人们系统的、简易的理解，有助于人们进一步了解酿酒葡萄与葡萄之间的联系，也便于消费者根据葡萄酒的理化指标对葡萄酒进行评价，便于厂家对葡萄酒进行分级，以及葡萄酒公司对葡萄筛选具有一定的参考性。问题一的显著性差异分析模型也十分广泛的应用前景，可用于同一物体不同方案的可靠性分析，具有重要的现实意义。模型的拟合法可以帮助人们看出实现商品抽象因素到具体关系，成为选择商品的重要参考量。此模型的分析方案的方法可以推广到其他商品的评价，前景不可估量。五、参考文献1王庚，王敏生，现代数学建模方法，北京：科学出版社，2006年2 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003年3邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，浙江；浙江大学出版社，2009年4马莉，MATLAB数学实验与建模，北京；清华大学出版社，2010年5朱建青，张国梁，数学建模方法，郑州；郑州大学出版社，2003年6秦文华，信号与系统实验讲义，曲阜，曲阜师范大学出版社，2010年六、附录（一）、x=1:16;y=6440.333 2042.131 4129.624 555.546 13.369 2845.180 173.270 136.260 297.730 643.365 9687.350 9.251 397.145 374.973 2621.851 1559.690 ;bar(x,y)xlabel(理化指标);ylable(含量);（二）、i=;a0=min(i)b0=max(i)a=0.0176;b= 2.4630; n=a+0.5*bi=; d=i+0.5*b; y=n./d（三）、x1=408.028 224.367 157.939 79.685 120.606 46.186 60.767 241.397 240.843 44.203 7.787 32.343 65.324 140.257 52.792 60.660 59.424 40.228 115.704 23.523 89.282 74.027 172.626 144.881 49.643 58.469 34.190 ;x2=23.604 26.875 21.685 10.698 17.618 10.671 9.214 15.241 30.114 9.476 6.075 12.059 14.385 14.657 11.901 11.214 15.336 7.381 17.426 12.677 16.192 16.442 29.704 8.751 11.502 7.348 8.897 ;x3=22.019 23.361 20.373 8.638 14.486 15.173 5.619 22.489 24.362 16.688 4.543 7.169 9.822 13.941 25.417 10.086 15.730 5.388 13.700 8.115 13.613 12.155 24.257 14.417 9.324 3.778 10.310 ;x4=9.480 13.806 10.794 4.482 10.275 6.838 3.468 8.483 20.490 4.631 2.517 3.897 7.330 7.809 5.511 9.157 8.701 5.245 9.454 8.155 7.515 7.846 24.295 8.206 5.373 3.383 4.711 ;x5=3.195 4.889 4.764 3.412 0.637 2.203 0.623 5.949 4.907 12.307 26.851 0.696 10.863 6.313 0.211 4.556 0.711 0.416 3.821 1.545 7.847 4.289 9.968 2.935 2.129 2.086 1.569 ;y1=973.878 517.581 398.770 183.519 280.190 117.026 90.825 918.688 387.765 138.714 11.838 84.079 200.080 251.570 122.592 171.502 234.420 71.902 198.614 74.377 313.784 251.017 413.940 270.108 158.569 151.481 138.455 ;p1=polyfit(x1,y1,8);p2=polyfit(x2,y1,8);p3=polyfit(x3,y1,8);p4=polyfit(x4,y1,8);p5=polyfit(x5,y1,8);tt=0:0.1:6;r1=polyval(p1,tt);r2=polyval(p2,tt);r3=polyval(p3,tt);r4=polyval(p4,tt);r5=polyval(p5,tt);plot(tt,r1,r,tt,r2,b,tt,r3,d,tt,r4,p,tt,r5,y);figure;ylabel(t);xlabel(x1,x2,x3,x4,x5);lengend(花色苷,总酚,单宁,葡萄糖总黄酮,白藜芦醇)（四）、x1=408.028 224.367 157.939 79.685 120.606 46.186 60.767 241.397 240.843 44.203 7.787 32.343 65.324 140.257 52.792 60.660 59.424 40.228 115.704 23.523 89.282 74.027 172.626 144.881 49.643 58.469 34.190 ;x2=23.604 26.875 21.685 10.698 17.618 10.671 9.214 15.241 30.114 9.476 6.075 12.059 14.385 14.657 11.901 11.214 15.336 7.381 17.426 12.677 16.192 16.442 29.704 8.751 11.502 7.348 8.897 ;x3=22.019 23.361 20.373 8.638 14.486 15.173 5.619 22.489 24.362 16.688 4.543 7.169 9.822 13.941 25.417 10.086 15.730 5.388 13.700 8.115 13.613 12.155 24.257 14.417 9.324 3.778 10.310 ;x4=9.480 13.806 10.794 4.482 10.275 6.838 3.468 8.483 20.490 4.631 2.517 3.897 7.330 7.809 5.511 9.157 8.701 5.245 9.454 8.155 7.515 7.846 24.295 8.206 5.373 3.383 4.711 ;x5=3.195 4.889 4.764 3.412 0.637 2.203 0.623 5.949 4.907 12.307 26.851 0.696 10.863 6.313 0.211 4.556 0.711 0.416 3.821 1.545 7.847 4.289 9.968 2.935 2.129