控制系统的数学模型.ppt

1,第二章 控制系统的数学模型,2-1 线性微分方程的建立与求解 2-2数学基础-拉普拉斯变换及其应用 2-3 传递函数 2-4 控制系统的结构图及其等效变换 组成、等效变换、简化、Mason公式,2,控制系统数学模型是对实际物理系统的数学抽象。 要对自动控制系统进行分析和设计,首先要建立系统的数学模型。 数学模型:描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式 物理量:高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 描述方法：微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述。,3,建模方法 ：分析法、实验法,分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。,利用物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量守恒定律和热力学定律等。,4,实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。,系统辨识（数学建模）是一门独立学科,5,2-1-1 线性微分方程的建立与求解,1.线性系统的基本特征,性质或特征：满足叠加原理（叠加性、齐次性）,6,微分方程的建立步骤,第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关系的微分方程。,第一步：明确输入、输出量，将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。,利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。,重点研究描述线性、定常控制系统的微分方程的建立和求解方法。,2、建立系统的微分方程,7,例2-1 如图所示，写出RLC电路的微分方程。,这是一个二阶线性定常微分方程,解：明确输入量 ， 输出量,第一步：环节数学表达式,第二步：消去中间变量,8,例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： 这也是一个二阶线性定常微分方程。x 为输出量，F为输入量。,9,相似系统和相似量：,我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全 一样的。,不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,相似系统和相似量,定义具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为相似系统，相似量:,作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,10,2-1-2 非线性数学模型的线性化,弹簧,运算放大器,电阻,一定条件，一定适用,严格地说线性系统在实际中不存在，而非线性系统是普遍存在的。,11,非线性数学模型的线性化,线性系统：可用线性微分方程描述，符合叠加原理，用自动控制理论解决控制问题。,非线性系统： 非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。,12,非线性数学模型的线性化,本质非线性,13,非线性数学模型的线性化,本质非线性,14,非线性数学模型的线性化,定义：有条件（包括缩小研究范围）地把非线性的数学模型化为线性模型来处理的方法。,意义：用线性控制理论来解决非线性问题的方法。,线性化条件:,（1）系统有一个固定的工作点；,（2）系统正常工作时偏离工作点很小；,（3）给定的区间内，变量的各阶导数 存在,数学基础：泰勒级数，实现小范围线性化,15,非线性数学模型的线性化,（1）单输入单输出,16,非线性数学模型的线性化,几何涵义：用切线代替曲线，曲率越小，偏差取值范围越大,17,非线性数学模型的线性化,（2）两个输入一个输出,18,非线性数学模型的线性化,19,非线性数学模型的线性化,几点注意：,(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。,(2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内变化。,(3)不同静态工作点得到的方程是不同的。,(4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。,(5)线性化后得到的是增量微分方程。,20,2-2 数学工具拉普拉斯变换与反变换,一、 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t=0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限,21,几个简单函数的拉氏变换,22,几个简单函数的拉氏变换,23,几个简单函数的拉氏变换,24,几个简单函数的拉氏变换,25,工程上典型函数的拉氏变换,时域上函数：f(t) 脉冲 (t) 单位阶跃 速度 加速度 指数 正弦,复数（S）域：F（s） 1,26,二、拉氏变换基本定理,1.线性定理：,2.实位移定理：,3.复位移定理,27,4.微分定理：,28,零初始条件：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值都等于零,在零初始条件下，,6.初值定理：若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t) 的初值为,5.积分定理：,29,注意：在运用终值定理前必须先判定终值定理中的条件是否都满足，比如,在虚轴上有极点,在右半平面上有极点,7.终值定理：若函数 f(t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，sF(s)在包含虚轴(除原点)的右半平面内无极点，则函数 f(t) 的终值为,30,例. 求 的拉氏变换,复位移,31,F(s)化成下列因式分解形式：,三、拉氏反变换,F(s)中具有不同的极点时，可（留数法）展开为,查表实现,32,例1 求 的原函数,将F(s)的分母因式分解为,33,F(s)含有多重极点时，可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,34,例2 求 的原函数,35,四、用拉氏变换求解微分方程： 研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。,拉氏变换求微分方程解的步骤： 对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。,36,例2-6 设线性微分方程为,式中， 为单位阶跃函数，初始条件 试求该微分方程的解。,解：,（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得,（2）将初始条件代入上式，得,37,（3）对式（1）进行分解：,式中,对Y（S）进行拉式反变换（查表）,38,4