（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数教案.docx

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号一二三四三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线小题体验1若是第二象限角，且满足sin0，则的终边在第_象限答案：三2若角的终边过点P，则tan _.答案：3为第一象限角，则sin cos _1.(填“”“”“”)答案：1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况4三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .小题纠偏11 000是第_象限角， 3是第_象限角，72_rad.答案：一二2如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP，则点P的坐标是_ 答案：(cos ，sin )题组练透1. 下列命题中，真命题是()A第一象限角是锐角B直角不是任何象限角C第二象限角比第一象限角大D三角形的内角一定是第一或第二象限角解析：选B390是第一象限角，但不是锐角，A错；135是第二象限角，390135，C错；直角不是任何象限角，D错，B对2若k(kZ)，则在()A第一象限或第三象限B第一象限或第二象限C第二象限或第四象限 D第三象限或第四象限解析：选C当k2m1(mZ)时，2m，所以在第二象限；当k2m(mZ)时，2m，所以在第四象限故选C.3设集合M，N，那么M_N(填“”“”“”)解析：法一：由于M，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN.法二：由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.答案：4终边在直线yx上的角的集合为_解析：在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴正半轴的夹角是，终边在直线yx上的角的集合为.答案：5(2018嘉兴七校联考)设角是第三象限角，且满足sin，则是第_象限角解析：因为角是第三象限角，所以2k2k(kZ)，所以kk(kZ)，所以是第二或第四象限角又因为sin，所以sin0，所以是第四象限角答案：四谨记通法1终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出0,2)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合2确定k，(kN*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；(2)再写出k或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置题组练透1若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为()A40 cm2B80 cm2C40 cm2 D80 cm2解析：选B72，S扇形|r220280(cm2)2若扇形的圆心角是120，弦长AB12 cm，则弧长l等于()A. cmB. cmC. 4 cm D8 cm解析：选B设扇形的半径为r cm，如图由sin 60，得r4 cm，l|r4 cm.3(2019瑞安模拟)设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数为_解析：联立解得所以扇形的圆心角的弧度数为|2.答案：24若扇形的圆心角60，半径R10 cm，求扇形的弧长l及扇形的弧所在的弧形的面积解：60，R10 cm，lR10 cm.设弧形的面积为S，则SR2R2sin102102cm2.谨记通法弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l|r，扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角)(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量锁定考向任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容在高考中多以选择题、填空题的形式出现常见的命题角度有：(1)三角函数定义的应用；(2)三角函数值的符号判定 题点全练角度一：三角函数定义的应用1已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则_.解析：角的终边经过点P(x，6)，且cos ，cos ，即x或x(舍去)，P，sin ，tan ，则.答案：2已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2_.解析：设P(t,2t)(t0)为角终边上任意一点，则cos .当t0时，cos ；当t0时，cos .因此cos 22cos211.答案：角度二：三角函数值的符号判定3(2019湖州六校联考)已知sin 20，且|cos |cos ，则点P(tan ，sin )在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由|cos |cos 可知cos 0，由sin 22sin cos 0可知sin 0，所以tan 0.所以点P(tan ，sin )在第二象限4已知点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角是第_象限角解析：因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0,2cos 0，即所以为第二象限角答案：二通法在握定义法求三角函数的3种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标演练冲关1已知角的终边经过点(3，4)，则sin ()AB.C. D.解析：选D角的终边经过点(3，4)，sin ，cos ，sin .2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos 的值为()A. BC. D解析：选D因为点A的纵坐标yA，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知点P(tan ，sin )在第三象限，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D因为点P在第三象限，所以所以的终边在第四象限，故选D.2(2018舟山五校联考)若tan 0，则()Asin 0 Bcos 0Csin cos 0 D2cos210解析：选C因为tan 0，所以是第二或第四象限角，所以sin ，cos 的符号不确定，故排除A、B；当是第二象限角时，sin ，cos 符号相反，所以sin cos 0；当是第四象限角时，sin ，cos 符号相反，所以sin cos 0，故选C.3若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为()A BCD2解析：选C设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以.4在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90到B点，则B点坐标为_解析：依题意知OAOB2，AOx30，BOx120，设点B坐标为(x，y)，所以x2cos 1201，y2sin 120，即B(1，)答案：(1，)5(2019丽水模拟)已知角的终边经过点(，)，则sin _，sin cos _.解析：因为角的终边经过点(，)，所以sin ，cos ，sin cos .答案：二保高考，全练题型做到高考达标1将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A BCD解析：选C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为2.2(2019台州模拟)已知点P(sin(30)，cos(30)在角的终边上，且2，0)，则角的大小为()A BCD解析：选D因为P(sin(30)，cos(30)，所以P，所以是第二象限角，又2，0)，所以.3已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin 等于()Asin 2 Bsin 2Ccos 2 Dcos 2解析：选D因为r2，由任意三角函数的定义，得sin cos 2.4已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1 B1C3 D3解析：选B由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0.所以y1111.5点A(sin 2 018，cos 2 018)在直角坐标平面上位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C由2 0183605(18038)可知，2 018角的终边在第三象限，所以sin 2 0180，cos 2 0180，即点A位于第三象限6已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.答案：(2,37已知是第二象限的角，则180是第_象限的角解析：由是第二象限的角可得90k360180k360(kZ)，则180(180k360)180180(90k360)(kZ)，即k36018090k360(kZ)，所以180是第一象限的角答案：一8(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则sin _.解析：当角的终边在第一象限时，取角终边上一点P1(2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角的终边上，此时sin ；当角的终边在第二象限时，取角终边上一点P2(2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角的终边上，此时sin .综上可得sin .答案：9已知角的终边上有一点(a，a)，aR且a0，则sin 的值是_解析：由已知得r|a|，sin 所以sin 的值是或.答案：或10已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.圆心角2，弦长AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，即2时，扇形面积取得最大值4.弦长AB2sin 124sin 1.11角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin cos sin cos tan tan 的值解：由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐