（浙江专用）高考数学第八章平面解析几何第七节双曲线教案（含解析）.docx

第七节 双曲线1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性 质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长小题体验1双曲线1的焦距为_解析：由双曲线1，易知c2325，所以c，所以双曲线1的焦距为2.答案：22(教材习题改编)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_解析：设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得椭圆焦点为(1,0)，顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21.答案：x213(2018北京高考)若双曲线1(a0)的离心率为，则a_.解析：由e ，得，a216.a0，a4.答案：41双曲线的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在2双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)；若ab0，则双曲线的离心率e；若0ab，则双曲线的离心率e(，)3注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为.小题纠偏1设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于_解析：由题意知|PF1|9ac10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.答案：172以直线yx为渐近线，且过点(，2)的双曲线的标准方程为_解析：因为双曲线的渐近线方程为yx，不妨可设该双曲线的方程为2x2y2.因为双曲线过点(，2), 所以642，所以双曲线的方程为2x2y22，即其标准方程为x21.答案：x21题组练透1(2019金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x2y24y0的圆心重合，且其渐近线的方程为xy0，则该双曲线的标准方程为()A.y21B.x21C.1 D.1解析：选B由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y轴上，设其方程为1(a0，b0)，且a2b24，又知渐近线方程为xy0，由得a23，b21，双曲线方程为x21.2(2018海口二模)已知双曲线C：1(a0，b0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是()A.y21 B.1Cx21 D.1解析：选C实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，tan 60，即ba，双曲线C：1(a0，b0)过点(，)，1，即1，解得a21，b23，故双曲线C的标准方程是x21.3(2018温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，且离心率等于，则该双曲线的标准方程为_；渐近线方程为_解析：因为c3，所以e，解得a2，所以b25.所以双曲线的标准方程为1，其渐近线方程为yx.答案：1yx4焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线x21有相同渐近线的双曲线的标准方程是_解析：设所求双曲线的标准方程为x2(0)，即1，则有425，解得5，所以所求双曲线的标准方程为1.答案：1谨记通法求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值典例引领已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48B24C12 D6解析：选B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2|PF1|PF2|24.由题悟法应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用即时应用1已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A.B.C. D.解析：选C双曲线方程可化为1，ab，c2.由得|PF1|4，|PF2|2，由余弦定理得cosF1PF2.2(2018余姚期初)已知ABC的顶点A，B分别为双曲线1的左、右焦点，顶点C在双曲线上，则的值为_解析：由正弦定理知，由双曲线的定义可知，.答案：锁定考向双曲线的几何性质是每年高考命题的热点常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线方程 题点全练角度一：求双曲线的离心率(或范围)1(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_解析：如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2(2018乐清调研)以椭圆y21的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是_解析：由题意可知所求双曲线方程可设为1(a0，b0)，则a，c2，所以b2c2a2431，故所求渐近线方程为yx.答案：yx角度三：求双曲线方程3过双曲线C：1(a0，b0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：选A由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为yx，因此可得点A的坐标为(a，b)设右焦点为F(c,0)，由已知可得c4，且|AF|4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，又c2a2b2，则c2a，即a2，所以b2c2a2422212，故双曲线的方程为1.通法在握与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程(3)求双曲线的方程依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长依题设条件及a，b，c之间的关系求解演练冲关1(2018萧山六校联考)已知l为双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线，l与圆F：(xc)2y2a2(其中c2a2b2)相交于A，B两点，若ABF为等腰直角三角形，则C的离心率为()A2 B.C. D.解析：选D由题意可设l的方程为bxay0.已知圆F：(xc)2y2a2的圆心为(c,0)，半径为a，l为双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线，l与圆F：(xc)2y2a2(其中c2a2b2)相交于A，B两点，ABF为等腰直角三角形，|AB|a.又(c,0)到l的距离db，b22a2，将|AB|a代入上式，得a22b2.又c2a2b2，e.2(2018台州调研)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_解析：因为2b2，所以b1，因为2c2，所以c，所以a，所以双曲线的渐近线方程为yxx.答案：yx 3(2018杭州二中适应)双曲线1(a0，b0)上存在一点P，与坐标原点O、右焦点F2构成正三角形，则双曲线的离心率为_解析：由题可得，要使三角形OPF2为正三角形，则P在双曲线上，所以1，结合b2c2a2及e，化简得e48e240，解得e242或e242.因为e1，所以e242，所以e1.答案：14(2018安阳二模)已知焦点在x轴上的双曲线1，它的焦点F到渐近线的距离的取值范围是_解析：一般地，焦点在x轴上的双曲线1(a0，b0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.而双曲线1，即1的焦点在x轴上，则解得4m8，它的焦点F到渐近线的距离为(0,2)答案：(0,2)典例引领设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，一条渐近线为y x，即bxay0.由焦点到渐近线的距离为，得.又c2a2b2，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得x216x840，则x1x216，y1y2(x1x2)412.解得t4，点D的坐标为(4，3)由题悟法直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验即时应用已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(7,5)，B(1，1)两点(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l：yxm交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2y212xn0(nR)三等分，求实数m，n的值解：(1)设双曲线C的方程是x2y21，依题意有解得所以所求双曲线的方程是2y2x21.(2)将l：yxm代入2y2x21，得x24mx(2m21)0，(4m)24(2m21)8m240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x1x24m，x1x22m21，所以x02m，y0x0mm，所以P(2m，m)又圆心E(6,0)，依题意kPE1，故1，即m2.将m2代入得x28x70，解得x11，x27，所以|MN|x1x2|6.故直线l截圆E所得弦长为|MN|2.又E(6,0)到直线l的距离d2，所以圆E的半径R ，所以圆E的方程是x2y212x260.所以m2，n26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018浙江高考)双曲线y21的焦点坐标是()A(，0)，(，0)B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析：选B双曲线方程为y21，a23，b21，且双曲线的焦点在x轴上，c2，该双曲线的焦点坐标是(2,0)，(2,0)2(2018唐山期中联考)已知双曲线C：1(m0，n0)的离心率与椭圆1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0 B3x4y0C4x3y0或3x4y0 D4x5y0或5x4y0解析：选A由题意知，椭圆中a5，b4，椭圆的离心率e，双曲线的离心率为，双曲线的渐近线方程为yxx，即4x3y0.故选A.3(2018湖南师大附中12月联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且AF14BF1，则双曲线C的离心率为()A.1 B.C.1 D.解析：选D不妨设点A在x轴的上方，由题意得，F1(c,0)，A(0，c)，设B(x，y)，AF14BF1，(c，c)4(cx，y)，x，y，代入双曲线方程可得1，9e428e2160，e.4(2018义乌质检)设F1，F2是双曲线1的左、右焦点，P在双曲线的右支上，且满足|PF1|PF2|32，则F1PF2_；SF1PF2_.解析：由题可得，|PF1|PF2|2a6，|F1F2|10.因为|PF1|PF2|32，所以|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100|F1F2|2，所以PF1PF2，所以F1PF2，所以SF1PF2|PF1|PF2|3216.答案：165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若|AB|4，|BC|3，则此双曲线的标准方程为_解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案：x21二保高考，全练题型做到高考达标1“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A方程1表示双曲线，(25k)(k9)0，k9或k25，“k9”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2(2018杭州调研)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A. B2C6 D4解析：选D由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，2)，所以|AB|4.3(2018杭州五中月考)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，F1AF2，则()A1 B.C. D.解析：选B如图所示，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a.因为|AF1|2a，所以|AF2|4a，又F1AF2，所以SAF1F2|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2.由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a|BF2|，又|BF1|2a|BA|，所以|BA|BF2|.因为BAF2，所以ABF2为等边三角形，边长为4a，所以SABF2|AF2|2(4a)24a2，故.4(2018浙大附中测试)如图，F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，经过右焦点F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PF2|2|F2Q|，PQF1Q，则双曲线C的离心率是()A. B.C. D. 解析：选D设|F2Q|m，则|F1Q|2am，|F2P|2m，|F1P|2a2m.因为 PQF1Q，所以(2am)2(3m)2(2a2m)2，解得6m24am，解得ma，所以|F1Q|a.所以在F1F2Q中，|F1F2|2c，所以22(2c)2，解得17a29c2，所以e2，即e.5(2018宁波六校联考)已知点F为双曲线E：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx(k0)与E交于M，N两点，若MFNF，设MNF，且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A， B2，1C2， D，1解析：选D设左焦点为F，令|MF|r1，|MF|r2，则|NF|MF|r2，由双曲线定义可知r2r12a，点M与点N关于原点对称，且MFNF，|OM|ON|OF|c，rr4c2，由得r1r22(c2a2)2b2，又知SMNF2SMOF，r1r22c2sin 2，b2c2sin 2c2a2，e2，又，sin 2，e22，(1)2，又e1，e，1，故选D.6已知双曲线的一个焦点F(0，)，它的渐近线方程为y2x，则该双曲线的标准方程为_；其离心率为_解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意得所以双曲线的标准方程为x21.所以a2，离心率e.答案：x217若点P是以A(3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2y29的一个交点，则|PA|PB|_.解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA|PB|2，又|PA|2|PB|236， 联立化简得2|PA|PB|16，所以(|PA|PB|)2|PA|2|PB|22|PA|PB|52，所以|PA|PB|2.答案：28(2018绍兴四校联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2MFFN，则双曲线C的离心率e_.解析：法一：由2MFFN知，.由渐近线的对称性知NOFMOF，即OF为NOM的角平分线，则cosNOM，所以NOM，NOFMOF.因为双曲线C的渐近线方程为yx，所以tan ，所以e .法二：如图所示，双曲线C的一条渐近线的方程为bxay0，右焦点为F(c,0)，因此|FM|b，过点F向ON作垂线，垂足为P，则|FP|FM|b，又因为2MFFN，所以|FN|2b.在RtFNP 中，sinFNP，所以FNP，故在OMN中，MON，所以FON，所以，所以双曲线C的离心率e .答案：9已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF10；(3)求F1MF2的面积解：(1)e，则双曲线的实轴、虚轴相等可设双曲线方程为x2y2.双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：设(23，m)，(23，m)(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4.由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF246.10已知双曲线C