（浙江专用）高考数学第五章平面向量第二节平面向量的基本定理及坐标表示教案（含解析）.docx

第二节 平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.小题体验1已知a(4,2)，b(6，m)，若ab，则m的值为_答案：32(教材习题改编)已知a(2,1)，b(3,4)，则3a4b_.答案：(6,19)3设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：4已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.答案：11向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.小题纠偏1设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_.答案：02已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：3题组练透1(2019温州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()A.B.C D解析：选C如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，于是，故选C.2在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析：2，.，()，().又xy，x，y.答案：3.如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解：设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，所以e1e2.同理可得ye1e2，即e1e2.谨记通法用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理题组练透1向量a，b满足ab(1,5)，ab(5，3)，则b为()A(3,4)B(3,4)C(3，4) D(3，4)解析：选A由ab(1,5)，ab(5，3)，得2b(1,5)(5，3)(6,8)，b(6,8)(3,4)，故选A.2已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为()A(8,1) BCD(8，1)解析：选B设P(x，y)，则 (x3，y2)，而(8,1)，所以解得所以P.3已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)谨记通法平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解典例引领1已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_解析：在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4x，2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)答案：(2,4)2已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2(1,0)3(2,1)(8,3)，(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.由题悟法向量共线的充要条件(1)abab(b0)；(2)abx1y2x2y10(其中a(x1，y1)，b(x2，y2)当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便即时应用1已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由题意得ab(2,2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6.当m6时，a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充要条件2(2018贵阳监测)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则_.解析：因为mn(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，所以(23)(1)3(1)，解得0.答案：03设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_解析：a与b方向相反，可设ab(0)，a(2,1)(2，)由|a|2，解得2或2(舍去)，故a(4，2)答案：(4，2)4若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值等于_解析：(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4)B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析：选B由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)2已知A(1，1)，B(m，m2)，C(2,5)三点共线，则m的值为()A1 B2C3 D4解析：选A(m，m2)(1，1)(m1，m3)，(2,5)(1，1)(3,6)，A，B，C三点共线，3(m3)6(m1)0，m1.故选A.3如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则()Ax，y Bx，yCx，y Dx，y解析：选A由题意知，又2，所以()，所以x，y.4(2019舟山模拟)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若mab与a2b共线，则m的值为_解析：由a(2,3)，b(1,2)，得mab(2m1,3m2)，a2b(4，1)，又mab与a2b共线，所以1(2m1)(3m2)4，解得m.答案：5已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_解析：因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018温州十校联考)已知a(3,1)，b(1,2)，则3a2b()A(7,1) B(7，1)C(7,1) D(7，1)解析：选B由题可得，3a2b3(3,1)2(1,2)(92，34)(7，1)2已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行，则A()A. B.C. D.解析：选B因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.3已知A(7,1)，B(1,4)，直线yax与线段AB交于点C，且2，则实数a等于( )A2B1C D解析：选A设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又点C在直线yax上，3a3，a2.4在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且AOC，|OC|2，若，则()A2 BC2D4解析：选A因为|OC|2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.5在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析：选C如图，a，b，ab.E是OD的中点，|DF|AB|.()ab，ababab，故选C.6已知向量a(1,3)，b(2,1)，c(3,2)若向量c与向量kab共线，则实数k_，若cxayb，则xy的值为_解析：kabk(1,3)(2,1)(k2,3k1)，因为向量c与向量kab共线，所以2(k2)3(3k1)0，解得k1.因为cxayb，所以(3,2)(x2y,3xy)，即x2y3,3xy2，解得x1，y1，所以xy0.答案：107已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：k18.如图，在正方形ABCD中，P为DC边上的动点，设向量，则的最大值为_解析：以A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(x,2)，x0,2(2,2)，(2，2)，(x,2)，.令f(x)(0x2)，f(x)在0,2上单调递减，f(x)maxf(0)3，即的最大值为3.答案：39平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.解：(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以解得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.10如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量，.解：babba，bba，bab.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，B(3,2)，C(1,1)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)内，设mn(m，nR)，则2mn的最大值为()A1 B1C2 D3解析：选B由已知得(1，1)，(1,2)，设(x，y)，mn，2mnxy.作出平面区域如图所示，令zxy，则yxz，由图象可知当直线yxz经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大z的最大值为321，即2mn的最大值为1.2设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析：选D根据已知得(c,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(c,0)(1,0)，从而得c.(d,0)(0,0)(1,0)(0,0)，即(d,0)(1,0)，得d.根据2，得2.线段AB的方程是y0，x0,1若C是线段AB的中点，则c，代入2得，0，此等式不可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则0c1,0d1，此时1，1，2，若等号成立，则只能cd1，根据定义，C，D是两个不同的点，矛盾，故选项C的说法也不正确；若C，D同时在线段AB的延长线上，即c1，d1，则2，与2矛盾，若c0，d0，则是负值，与2矛盾，若c1，d0，则1，0，此时1，与2矛盾，故选