（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性及周期性教案（含解析）.docx

第三节 函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期小题体验1(2018杭州模拟)已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)2x2，则f(1)的值是()A3B1C1 D3解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)3，故选A.2(2018台州月考)偶函数yf(x)在区间0,4上单调递减，则有()Af(1)ff()Bff(1)f()Cf()f(1)fDf(1)f()f解析：选A由题意得，014f(1)f(1)ff()f()，故选A.3(2018金华模拟)已知函数yf(x)为R上的偶函数，当x0时，f(x)log2(x2)3，则f(6)_，f(f(0)_.解析：当x0时，f(x)log2(x2)3，f(6)log2(62)3330，f(0)132，函数yf(x)为R上的偶函数，f(f(0)f(2)f(2)231.答案：011判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)或f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性小题纠偏1已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()AB.C.D解析：选Bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.2(2018宁波模拟)若函数f(x)为奇函数，则a_，f(g(2)_.解析：由题意af(0)0，g(2x)f(x)，所以g(2)f(1)f(1)4，所以f(g(2)f(4)f(4)25.答案：025题组练透判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)(3)f(x)；(4)f(x)loga(x)(a0且a1)解：(1)因为f(x)有意义，则满足0，所以1x1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数(2)法一：(定义法)当x0时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当x0时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)所以f(x)为奇函数法二：(图象法)作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数(3)因为所以2x2且x0，所以定义域关于原点对称又f(x)，所以f(x)f(x)故函数f(x)为偶函数(4)函数的定义域为R，因为f(x)f(x)logaxloga(x)loga(x)loga(x)loga(x)(x)loga(x21x2)loga10，即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数谨记通法判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性典例引领(1)已知函数f(x)若对任意的nN*，定义fn(x)ffff(x)，则f2 019(2)的值为()A0B1C2 D3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 019)_.解析：(1)f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，fn(2)的值具有周期性，且周期为3，f2 019(2)f3673(2)f3(2)2，故选C.(2)f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2，当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(2)f(4)f(2 018)0，f(1)f(3)f(5)f(2 019)1.故f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010.答案：(1)C(2)1 010由题悟法1判断函数周期性的2个方法(1)定义法(2)图象法2周期性3个常用结论(1)若f(xa)f(x)，则T2a.(2)若f(xa)，则T2a.(3)若f(xa)，则T2a(a0)即时应用1已知函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)等于()A2 B1C0 D2解析：选D当x时，ff，即周期为1，则f(6)f(1)f(1)(1)312.2已知定义在R上的函数满足f(x2)，x(0,2时，f(x)2x1.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)的值为_解析：f(x2)，f(x4)f(x)，函数yf(x)的周期T4.又x(0,2时，f(x)2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1，f(4).f(1)f(2)f(3)f(2 018)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(50441)f(50442)504131 348.答案：1 3483(2018温州模拟)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x1)，则f(0)f(2 017)的最大值为_解析：因为f(x1)，所以22.令g(x)f2(x)f(x)，则g(x1)g(x)，g(x2)g(x1)，所以g(x2)g(x)，所以g(x)是以2为周期的函数，g(2 017)g(1)，所以f(2 017)f(1)，f(0)f(2 017)f(0)f(1)f(0).令t0，则f(0)，t，所以f(0)f(1)1t，令2tsin 0，则f(0)f(1)1sin cos 1sin1.故所求最大值为1.答案：1锁定考向函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主多以选择题、填空题形式出现常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合 题点全练角度一：奇偶性的应用1(2018福建三明模拟)函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2x，则当x0时，f(x)()A2xB2xC2x D2x解析：选Cx0时，x0，x0时，f(x)2x，当x0时，f(x)2x.f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)2x.故选C.角度二：单调性与奇偶性结合2(2019嘉兴质检)已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)单调递增，f(1)0，若f(x1)0，则x的取值范围为()Ax|0x1或x2Bx|x0或x2Cx|x0或x3 Dx|x1或x1解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)0，又函数f(x)在(0，)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x1)0可转化为1x10或x11，解得0x1或x2.角度三：周期性与奇偶性结合3(2019宁波月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x)若f(2)1，f(7)a，则实数a的取值范围为()A(，3) B(3，)C(，1) D(1，)解析：选Df(x3)f(x)，f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，f(7)f(79)f(2)又函数f(x)是偶函数，f(2)f(2)，f(7)f(2)1，a1，即a(1，)角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A0f(1)f(3) Bf(3)0f(1)Cf(1)0f(3) Df(3)f(1)0解析：选C由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)0.由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)f(1)又f(x)在0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(2,2)上单调递减，所以f(1)f(0)f(1)，即f(1)0f(3)故选C.通法在握函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解演练冲关1(2018杭二一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为()Ayx1Byx2Cy Dyx|x|解析：选D对于A，yx1为非奇非偶函数，不满足条件对于B，yx2是偶函数，不满足条件对于C，y是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件对于D，设f(x)x|x|，则f(x)x|x|f(x)，则函数为奇函数，当x0时，yx|x|x2，此时为增函数，当x0时，yx|x|x2，此时为增函数，综上，yx|x|在R上为增函数故选D.2(2018台州测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2，若对任意的xa1，a1，关于x 的不等式f(x2a)a2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是()A(0,2 B(0,4C(0，) D2，)解析：选C当x0时，f(x)x2，函数是奇函数，当x0时，f(x)x2，f(x)f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)f(ax)，不等式f(x2a)a2f(x)f(ax)在xa1，a1恒成立，x2aax在xa1，a1恒成立，令g(x)x2axa，函数的对称轴为x，当a1，即a2时，不等式恒成立，可得g(a1)(a1)2a(a1)a10恒成立；当a1a1，即2a2时，不等式恒成立，可得g2aa0恒成立，解得a(0,2；当a1，即a2时，不等式恒成立，可得g(a1)(a1)2a(a1)a2a10，无解；综上，a0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018浙江名校协作体联考)下列函数为奇函数的是()AyByexCycos x Dyexex解析：选D对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，yex为非奇非偶函数，故不符合要求；对于C，满足f(x)f(x)，故不符合要求；对于D，f(x)exex(exex)f(x)，yexex为奇函数，故选D.2设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()()A BC2D2解析：选B由已知得f()f()log2.3函数f(x)x1，f(a)3，则f(a)的值为()A3 B1C1 D2解析：选B由题意得f(a)f(a)a1(a)12.f(a)2f(a)1，故选B.4(2019绍兴六校联考)若函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数，则实数a_.解析：法一：(定义法)函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数，f(x)f(x)，即ln(ex1)axln(ex1)ax，2axln(ex1)ln(ex1)lnlnx，2a1，解得a.法二：(取特殊值)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(1)f(1)，ln(e11)aln(e11)a，2aln(e11)ln(e11)lnln1，a.答案：5设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则f_.解析：依题意得，f(2x)f(x)，f(x)f(x)，则fff1.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018浙江名校协作体联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)的值为()A4 B4C6 D6解析：选B由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)1m0m1，f(log35)f(log35)(3log351)4，选B.2奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2 B1C0 D1解析：选D由函数f(x2)为偶函数可得，f(2x)f(2x)又f(x)f(x)，故f(2x)f(x2)，所以f(2x)f(x2)，即f(x4)f(x)所以f(x8)f(x4)f(x)，故该函数是周期为8的周期函数又函数f(x)为奇函数，故f(0)0.所以f(8)f(9)f(0)f(1)011.3(2018宁波适应性考试)若函数yf(x)是R上的偶函数，yg(x)是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是()A函数yg(g(x)是偶函数，函数yf(x)g(x)是周期函数B函数yg(g(x)是奇函数，函数yf(x)g(x)不一定是周期函数C函数yf(g(x)是奇函数，函数yf(g(x)是周期函数D函数yf(g(x)是偶函数，函数yf(x)g(x)是周期函数解析：选Dyf(x)是R上的偶函数，yg(x)是R上的奇函数，故有f(x)f(x)，且g(x)g(x)则g(g(x)g(g(x)g(g(x)，f(g(x)f(g(x)f(g(x)；故g(g(x)为奇函数，f(g(x)为偶函数，故排除A、C；f(x)和g(x)都是周期函数，设它们的周期的最小公倍数为t，即f(xt)f(x)，g(xt)g(x)，令n(x)f(x)g(x)，则n(xt)f(xt)g(xt)f(x)g(x)n(x)，n(x)f(x)g(x)一定为周期函数，故选D.4定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)解析：选Af(x)是偶函数，f(2)f(2)又任意的x1，x20，)(x1x2)，有0，f(x)在0，)上是减函数又123，f(1)f(2)f(2)f(3)，故选A.5(2018温州十校联考)设函数yf(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x22a时，恒有f(x1)f(x2)2b，则称点(a，b)为函数yf(x)图象的对称中心研究函数f(x)xsin x3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到fffff的值为()A4 035 B4 035C8 070 D8 070解析：选Cf(x)xsin x3，当x1时，f(1)1sin 32，根据对称中心的定义，可得当x1x22时，恒有f(x1)f(x2)4，fffff2 017f2 017(4)28 070.6(2018贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x).若g(2)3，则g(2)_.解析：由题意可得g(2)3，则f(2)1，又f(x)是奇函数，则f(2)1，所以g(2)1.答案：17设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围为_解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x1.所以x的取值范围为.答案：8已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_解析：f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减，f()f()，f(2|a1|)f()，2|a1|2，|a1|，即a1，即a.答案：9设f(x)的定义域为(，0)(0，)，且f(x)是奇函数，当x0时，f(x).(1)求当x0时，f(x)的解析式；(2)解不等式f(x).解：(1)因为f(x)是奇函数，所以当x0时，f(x)f(x)，x0，又因为当x0时，f(x)，所以当x0时，f(x)f(x).(2)f(x)，当x0时，即，所以，所以，所以3x18，解得x2，所以x(0,2)当x0时，即，所以，所以3x32，所以x2，所以解集是(，2)(0,2)10已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，作出f(x)的图象如图所示，结