（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第十节变化率与导数、导数的运算教案（含解析）.docx

第十节 变化率与导数、导数的运算导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)li 为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积小题体验1下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：选Bx1；(3x)3xln 3；(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x故选B.2曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_答案：2xy101利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x)x1与指数函数的求导公式(ax)axln a混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别小题纠偏1函数y的导函数为_答案：y2(2018杭州模拟)函数f(x)x2的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Axy10B3xy10Cxy10 D3xy10解析：选A函数f(x)x2的导数为f(x)2x ，可得图象在点(1，f(1)处的切线斜率为k211，切点为(1,2)，可得图象在点(1，f(1)处的切线方程为y2x1，即为xy10. 故选A.题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)(易错题)yxsincos；(5)yln(2x5)解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.(4)yxsincosxsin(4x)xsin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.(5)令u2x5，yln u，则y(ln u)u2，即y.谨记通法求函数导数的3种原则提醒复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元锁定考向导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围) 题点全练角度一：求切线方程1曲线y在点(0，1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()ABCD1解析：选B因为y，所以y，所以曲线在点(0，1)处的切线方程为y12x，即y2x1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，1)，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S|1|.角度二：求切点坐标2(2018湖州模拟)曲线f(x)x3x2在P0处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A(1,0) B(2,8)C(1,0)和(1，4) D(2,8)和(1，4)解析：选C设P0(x0，y0)，则f(x)3x21，即f(x0)3x14，所以x01，所以P0点的坐标为(1,0)和(1，4)，经检验，都符合题意故选C.角度三：求参数的值(范围)3(2018宁波二模)设曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围是()A1,2B(3，)C D解析：选D由f(x)exx，得f(x)ex1，ex11，(0,1)由g(x)3ax2cos x，得g(x)3a2sin x，又2sin x2,2，3a2sin x23a，23a要使过曲线f(x)exx上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2，使得l1l2，则解得a.通法在握与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.演练冲关1(2018杭州质量预测)函数f(x)excos x的图象在点(0，f(0)处的切线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选C依题意，f(0)e0cos 01，因为f (x)excos xexsin x，所以f(0)1，所以切线方程为y1x0，即xy10，故选C.2曲线yaln x(a0)在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a_.解析：yaln x，y，在x1处的切线的斜率ka，而f(1)aln 10，故切点为(1,0)，切线方程为ya(x1)令y0，得：x1；令x0，ya.三角形面积Sa14，a8.答案：8一抓基础，多练小题做到眼疾手快1曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为()A(1,3)B(1,3)C(1,3)和(1,3) D(1，3)解析：选Cf(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故选C.2曲线f(x)2xex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选C曲线f(x)2xex与y轴的交点为(0，1)且f(x)2ex，f(0)1.所以所求切线方程为y1x，即xy10.3(2018温州模拟)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(2 017)()A1B2C D解析：选D令ext，则xln t，所以f(t)ln tt，故f(x)ln xx.求导得f(x)1，故f(2 017)1.故选D.4若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10 相互垂直，则实数a_.解析：因为f(x)sin xxcos x，所以fsincos1.又直线ax2y10的斜率为，所以11，解得a2.答案：25(2018杭州模拟)已知函数f(x)x2ax1(a0，b0)，则函数g(x)aln x在点(b，g(b)处切线的斜率的最小值是_解析：因为a0，b0，f(x)x2bxa，所以g(x)，则g(b)2，当且仅当ab1时取等号，所以斜率的最小值为2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10解析：选C由于ye，所以ye1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.2(2018开封模拟)已知直线ykx1与曲线yx3mxn相切于点A(1,3)，则n()A1 B1C3 D4解析：选C对于yx3mxn，y3x2m，k3m，又k13,1mn3，可解得n3.3(2018台州测试)已知f(x)x22f(1)，则f(0)等于()A2 B4C2 D4解析：选B由已知f(x)x22f(1)，得f(x)2x，所以f(1)2，所以f(x)x24，所以f(0)4.故选B.4(2018衡水调研)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay1，y，y2，曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.5已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1 B3C4 D2解析：选Df(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，解得m2.6(2018浙江金华十校联考)已知函数f(x)x3axb的图象在点(1，f(1)处的切线方程为2xy50，则a_，b_.解析：由f(x)x3axb，得f(x)3x2a，由题意，得f(1)3a2，解得a1.又在切线方程中，当x1时，y3，所以f(1)1311b3，解得b3.答案：137如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.解析：由题图可得曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3)，因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由图可知f(3)1，所以g(3)130.答案：08(2018杭二期中)设函数F(x)ln x(0x3)的图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由F(x)ln x(0x3)，得F(x)(0x3 )，则有kF(x0)在(0,3上恒成立，所以amax.当x01时，xx0在(0,3上取得最大值，所以a.答案：9(2018杭州六校联考)已知函数f(x)x3ax1.若对任意mR，直线yxm都不是曲线yf(x)的切线，求实数a的取值范围解：因为对任意mR，直线yxm都不是曲线yf(x)的切线，所以f(x)x2a1对xR成立，只要f(x)x2a的最小值大于1即可，而f(x)x2a的最小值为f(0)a，所以a1，即a1.故实数a的取值范围为(，1)10已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解：(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40，或y20.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7解析：选A因为yx3，所以y3x2，设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又点(1,0)在切线上，所以x00或x0.当x00时，切线方程为y0.由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，切线方程为yx，由yx与yax2x9相切，可得a