（浙江专用）高考数学第八章平面解析几何第六节椭圆教案（含解析）.docx

第六节 椭圆1椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆两定点F1，F2叫做椭圆的焦点集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性 质范围xa，a yb，bxb，b，ya，a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点，顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2小题体验1(2018全国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.B.C. D.解析：选Ca24228，a2，e.2已知椭圆的方程为1(m0)，若该椭圆的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是_解析：由题可得，m216，因为m0，所以0m4.故实数m的取值范围为(0,4)答案：(0,4)3(教材习题改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，点P坐标为或.答案：或1椭圆的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件，当2a|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a|F1F2|不存在轨迹2求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)3注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|a，|y|b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因小题纠偏1椭圆1的焦距为2，则m的值为()A5 B3C5或3 D8解析：选C当m4时，m41，m5；当0m4时，4m1，m3，故m的值为5或3.2已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为()A. B.C. D.解析：选B由椭圆方程知c1，所以F1(1,0)，F2(1,0)因为椭圆C上点A满足AF2F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y，所以y0.设P(x1，y1)，则(x11，y1)，(0，y0)，所以y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以y1，故的最大值为.题组练透1若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.y21B.1C.y21或1 D以上答案都不对解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，a25，所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时，b2，c1，a25，所求椭圆的标准方程为1.2(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为_解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)由点P(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26，故椭圆方程为1.答案：1谨记通法求椭圆标准方程的 2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)典例引领1设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12B8,11C8,12 D10,12解析：选C如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|10，易知|PM|PN|(|PM|MF1|)(|PN|NF2|)2，则其最小值为|PF1|PF2|28，最大值为|PF1|PF2|212.2F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 B.C. D.解析：选C由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8.|AF1|.AF1F2的面积S2.由题悟法椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|PF2|的最值；利用定义|PF1|PF2|2a转化或变形，借助三角形性质求最值即时应用1已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析：选A由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1，选A.2(2018永康适应性测试)已知F1(1,0)，F2(1,0)，且PF1F2的周长为6，则动点P的轨迹C的方程为_解析：由F1(1,0)，F2(1,0)，PF1F2的周长为6，得|PF1|PF2|4|F1F2|，点P的轨迹是F1，F2为焦点的椭圆(不包括左右顶点)2a4，c1，a2，b，轨迹C的方程为1(y0)答案：1(y0)锁定考向椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角度有：(1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围 题点全练角度一：求离心率的值或范围1(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1B2C. D.1解析：选D在RtPF1F2中，PF2F160，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|，由椭圆的定义可知，方程1中，2a1，2c2，得a，c1，所以离心率e1.角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围2椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则m的最大值为_解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，则|PF1|PF2|2a10.则m|PF1|PF2|225，当且仅当|PF1|PF2|5时等号成立，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.答案：25通法在握1应用椭圆几何性质的2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系2求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解演练冲关1(2018瑞安期末)已知椭圆1(a0)的一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选B由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以a212416，所以a4，所以离心率e.2过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选B由题意，可设P.因为在RtPF1F2中，|PF1|，|F1F2|2c，F1PF260，所以.又因为b2a2c2，所以c22aca20，即e22e0，解得e或e，又因为e(0,1)，所以e.3(2018温州十校联考)已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_解析：设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.答案：典例引领(2018浙江名校联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，直线y1与C的两个交点间的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)分别过F1，F2作l1，l2满足l1l2，设l1，l2与C的上半部分分别交于A，B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值解：(1)易知椭圆过点，所以1，又，a2b2c2，由得a24，b23，所以椭圆C的方程为1.(2)由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，设直线l1：xmy1，它与椭圆C的另一个交点为D.与椭圆C的方程联立，消去x，得(3m24)y26my90，则144(m21)0，|AD|，又F2到l1的距离为d，所以SADF2|AD|d.令t1，则SADF2，因为y3t在1，)上单调递增，所以当t1时，SADF2取得最大值3.又S四边形ABF2F1d(|AF1|DF1|)d|AB|dSADF2，所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.由题悟法1直线与椭圆的位置关系的解题策略(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k为直线斜率)2直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)中点弦或弦的中点点差法(结果要检验)即时应用(2017浙江新高考联盟)椭圆C1 ：1(ab0)的右焦点与抛物线C2 ：y22px(p0)的焦点重合， 曲线C1与C2相交于点.(1)求椭圆C1的方程；(2)过右焦点F2的直线l(与x轴不重合)与椭圆C1交于A，C两点，线段AC的中点为G，连接OG并延长交椭圆C1于B点(O为坐标原点)，求四边形OABC的面积S的最小值解：(1)点在y22px上，2p，解得p2，椭圆C1的右焦点为(1,0)，解得椭圆C1的方程为1.(2)设直线AC的方程为xmy1，A(x1，y1)，C(x2，y2)，G(x0，y0)，联立消去x，整理得(43m2)y26my90，则y1y2，y1y2.由弦长公式可得|AC|y1y2| .由中点坐标公式可知，y0，x0my01G.直线OG的方程为yx，代入1，整理得x2，B，故B到直线AC的距离d1，O到直线AC的距离d2，S|AC|(d1d2)6 63，当且仅当m0时取得最小值综上所述，四边形OABC的面积S的最小值是3.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1“2m6”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若方程1表示椭圆则有2m6且m4.故“2m6”是“1表示椭圆”的必要不充分条件2(2019湖州一中月考)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C法一：椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，故c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2，由c2a2b2，得b24.所以所求椭圆的标准方程为1，故选C.法二：设所求椭圆方程为1(k9)，将点(，)的坐标代入可得1，解得k5或k21(舍)，所以所求椭圆的标准方程为1，故选C.3(2019丽水质检)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1内切圆的半径为()A. B1C. D.解析：选D法一：不妨设点A在点B上方，由题意知F2(1，0)，将F2的横坐标代入方程1中，可得A点纵坐标为，故|AB|3，所以内切圆半径r(其中S为ABF1的面积，C为ABF1的周长)故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB|3，则SABF1233，而ABF1的周长C周4a8，由SABF1C周r得r，故选D.4(2018长兴中学适应测试)已知椭圆C：1，则该椭圆的长轴长为_；焦点坐标为_解析：长轴长为2a8，c21697，所以c，所以焦点坐标为(0，)和(0，)答案：8(0，)和(0，)5(2018宁波五校联考)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m_；离心率为_解析：因为椭圆的左焦点为F1(4,0)，所以25m242，解得m3.所以离心率为e.答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1(2018丽水高三质检)已知椭圆C：1(ab0)与直线xb在第一象限交于点P，若直线OP的倾斜角为30，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.解析：选B由题意可得P，因为直线OP的倾斜角为30，所以tan 30，所以e.故选B.2(2018东阳调研)椭圆ax2by21(a0，b0)与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A. B.C. D.解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axby1，axby1，两式相减得axax(byby)，即1，(1)1，故选B.3(2019德阳模拟)设点P为椭圆C：1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且PF1F2的重心为点G，如果|PF1|PF2|34，那么GPF1的面积为()A24 B12C8 D6解析：选C点P为椭圆C：1上一点，|PF1|PF2|34，|PF1|PF2|2a14，|PF1|6，|PF2|8.又|F1F2|2c10，PF1F2是直角三角形，SPF1F2|PF1|PF2|24，PF1F2的重心为G，SPF1F23SGPF1，GPF1的面积为8，故选C.4(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0， 9，)C(0,14，) D(0， 4，)解析：选A当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)5.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F，连接PF，如图所示因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2.由|OP|OF|OF|知，FPF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8.由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为1.6(2018达州模拟)以圆x2y24与x轴的交点为焦点，以抛物线y210x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选C根据题意，圆x2y24与x轴的交点为(2,0)，抛物线y210x的焦点为，即椭圆的焦点为(2,0)，椭圆的一个顶点为，则椭圆中c2，a，则椭圆的离心率e.7(2019温州模拟)设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_解析：由题意知|AF2|BF2|AB|AF1|BF1|，又由椭圆的定义知|AF2|AF1|BF2|BF1|2a，联立，解得|AF2|BF2|AB|a，|AF1|BF1|a，所以SF2AB|AB|AF2|sin 604，所以a3，|F1F2|AB|2，所以c，所以b2a2c26，所以椭圆C的方程为1.答案：18已知ABC的顶点A(3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆1上，则_.解析：由椭圆1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点在ABC中，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c|AB|6，ab|BC|AC|10，由正弦定理可得3.答案：39(2018新乡一模)已知直线l：y2x2与椭圆：1(m0)交于A，B两点(1)求的离心率；(2)若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点，求的方程及圆C的标准方程解：(1)e .(2)由得17x232x164m20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则32268(164m2)0，x1x2，x1x2.由已知得OAOBx1x2y1y2x1x24(x11)(x21)5x1x24(x1x2)40，即5440，解得m21，且满足32268(164m2)0，故的方程为y21.设圆C的圆心坐标为(x0，y0)，则x0，y02(x01).由x1x2，得|AB|.故圆C的标准方程为(xx0)2(yy0)22，即22.10(2018天津高考)设椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，|AB|.(1)求椭圆的方程(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.又|AB|，从而a3，b2.所以椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1