（浙江专用）高考数学第八章平面解析几何第八节抛物线教案（含解析）.docx

第八节 抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0小题体验1(2018杭州七校联考)抛物线C：yax2的准线方程为y，则其焦点坐标为_，实数a的值为_解析：由题意得焦点坐标为，抛物线C的方程可化为x2y，由题意得，解得a1.答案：12焦点在直线2xy20上的抛物线的标准方程为_答案：y24x或x28y3(教材习题改编)抛物线y4x2的焦点坐标为_；准线方程为_解析：抛物线的标准方程为x2y，所以焦点坐标为，准线方程为y.答案：y1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义3抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定小题纠偏1平面内到点(1,1)与到直线x2y30的距离相等的点的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D一条直线答案：D2抛物线8x2y0的焦点坐标为_解析：由8x2y0，得x2y.2p，p，焦点为.答案：典例引领1(2019温州十校联考)设抛物线C：yx2的焦点为F，直线l交抛物线C于A，B两点，|AF|3，线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，则|BF|()A.B5C4 D3解析：选B抛物线C的方程可化为x24y，由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，可得|AF|BF|8，又|AF|3，所以|BF|5.2已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是()A4 B5C6 D7解析：选B依题意，由点M向抛物线x24y的准线l：y1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1,5)到y1的距离再减去圆C的半径，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5，故选B.由题悟法应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|.即时应用1如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B.C. D.解析：选A由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知其焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.B2C. D3解析：选B由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.锁定考向抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现常见的命题角度有：(1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性 题点全练角度一：求抛物线方程1(2019台州重点校联考)已知直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212xBy28xCy26x Dy24x解析：选B过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线定义知|AF|AA1|，|BF|BB1|，则|AA1|BB1|28，解得p4，所以此抛物线的方程是y28x.角度二：抛物线的对称性2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B.C2 D3解析：选B双曲线的渐近线方程为yx，因为双曲线的离心率为2，所以 2，.由解得或由曲线的对称性及AOB的面积得，2，解得p2，即p.通法在握求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题演练冲关1(2019宁波质检)已知点M是抛物线C：y22px(p0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为()A1 B2C3 D4解析：选D抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，设M，由中点坐标公式可知22，y1022，解得p4.2(2019丽水高三质检)过抛物线C：y24x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线准线交于M，且FM3FP，则|FP|()A. B.C. D.解析：选C设直线l的倾斜角为，如图所示，过点P作PN垂直准线于点N，由抛物线定义知|PN|PF|.FM3FP，|FM|3|FP|，即|PM|2|PN|.在RtMNP中，cosMPN，PNx轴，cos ，由抛物线焦半径的性质可得|PF|，即|FP|.典例引领(2018长兴中学模拟)已知抛物线C1：y22px(p0)的焦点为F，P为C1上一点，|PF|4，点P到y轴的距离等于3.(1)求抛物线C1的标准方程；(2)设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线yx上，P(0,2)为定点，求PAB面积的最大值解：(1)由题意，34，p2，所以抛物线C1的标准方程为y24x.(2)设直线AB：xtyb，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程消元化简得y24ty4b0，16t216b0.且y1y24t，x1x2t(y1y2)2b4t22b，所以D(2t2b,2t)，2t2b2t.由0得0t2.所以点P到直线AB的距离d，所以|AB|4，所以SABP|AB|d42|2t24t|.令m，则m(0,1，且SABP4m3.由函数单调性可知，(SABP)max4.由题悟法解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用弦长公式即时应用如图所示，已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点(1)若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|20，求直线l的方程解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)因为线段AB的中点在直线y2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直线l的方程是yx1.(2)设直线l的方程为xmy1，与抛物线方程联立得消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24，16(m21)0.|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019湖州质检)已知抛物线y22px(p0)，点C(4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()Ay24xBy24xCy28x Dy28x解析：选DABx轴，且AB过点F，AB是焦点弦，|AB|2p，SCAB2p24，解得p4或p12(舍去)，直线AB的方程为x2，以直线AB为准线的抛物线的标准方程是y28x，故选D.2(2018江山质检)在抛物线y22px(p0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为()A. B1C2 D3解析：选C由抛物线的定义可知，45，解得p2.3(2018珠海模拟)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于()A. B.C. D.解析：选B由抛物线y24x知焦点F(1,0)，准线l的方程为x1，由抛物线定义知|PA|PF|4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(1,2)，所以kAF，所以直线AF的倾斜角为.4(2019宁波六校联考)已知抛物线C：y22x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则SMFN()A8 B2C4 D8解析：选B法一：由题意可得p，F.不妨设点P在x轴上方，由抛物线定义可知|PF|PM|，|QF|QN|，设直线PQ的倾斜角为，则tan ，由抛物线焦半径的性质可知，|PF|2，|QF|，|MN|PQ|sin (|PF|QF|)sin4，SMFN|MN|p42.法二：由题意可得F，直线PQ的方程为yx，与抛物线方程y22x联立，得22x，即3x25x0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，|PQ|x1x2p，直线PQ的斜率为，直线PQ的倾斜角为.|MN|PQ|sin 4，SMFN42.5已知点P在抛物线y24x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y24x的准线方程为x1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得xP1，所以y4，所以|yP|2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1(2018临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y1相切，则动圆圆心的轨迹方程为()Ay0 Bx2y21 Cx24y Dy24x 解析：选C设动圆圆心M(x，y)，则|y1|，解得x24y.2(2018绍兴二模)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y(x1)与抛物线C交于A，B两点(A在x轴上方)若AFmFB，则m的值为()A. B.C2 D3解析：选D直线方程为xy1，代入y24x可得y2y40，则yA2，yB，所以|yA|3|yB|，因为AFmFB，所以m3.3(2018宁波十校联考)已知抛物线x24y，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为30，则的值等于()A3 B.C2 D. 解析：选A由题可得，F(0,1)，设l：yx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线方程与抛物线方程联立，消去x，化简得3y210y30，解得y13，y2.由抛物线的定义可知3.4已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|PM|的最小值是()A8 B.C10 D.解析：选B依题意可知焦点F，准线方程为y，延长PM交准线于点H(图略)则|PF|PH|，|PM|PF|，|PM|PA|PF|PA|，即求|PF|PA|的最小值因为|PF|PA|FA|，又|FA| 10.所以|PM|PA|10，故选B.5(2019嘉兴六校联考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|MF|(O为坐标原点)，则OMMF()A B.C. D解析：选A设M(m，)，抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|MF|，所以m22pm，m，由解得m，p2，所以M，F(1,0)，所以OM，MF，故OMMF2.6(2018宁波期初)已知抛物线x24y的焦点为F，若点M在抛物线上，|MF|4，O为坐标原点，则MFO_.解析：由题可得，p2，焦点在y轴正半轴，所以F(0,1)因为|MF|4，所以M(2，3)所以tanMFOtan(MFO)，所以MFO.答案：7设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为_解析：如图，由题可知F，设P点坐标为(y00)，则()，kOM，当且仅当y2p2时等号成立，所以直线OM的斜率的最大值为.答案：8(2018嵊州一模)设抛物线y24x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|3，则BCF与ACF的面积之比_.解析：设点A在第一象限，B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xmy.由y24x，得p2，因为|BF|3x2x21，所以x22，则y4x2428，所以y22，由得y24my40，则y1y24，所以y1，由y4x1，得x1.过点A作AA垂直于准线x1，垂足为A，过点B作BB垂直于准线x1，垂足为B，易知CBBCAA，所以.又|BB|BF|3，|AA|x11，所以.答案：9(2018杭州高三检测)如图，过抛物线M：yx2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.(1)设A(x0，x)(x00)，求直线AB的方程；(2)求的值解：(1)因为y2x，所以直线AB的斜率ky|xx02x0，所以直线AB的方程为yx2x0(xx0)，即y2x0xx.(2)由(1)得，点B的纵坐标yBx，所以AB的中点坐标为.设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为xmy.由得m2y2(mx01)y0.因为G为ABC的重心，所以y13y2.由根与系数的关系，得y1y24y2，y1y23y.所以y，解得mx032.所以点D的纵坐标yD，故46.10(2018台州模拟)已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(1，1)，且F1F2OP(O为坐标原点)(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求PMN面积的最小值解：(1)由题意知F1(1,0)，F2，则，F1F2OP，(1，1)10，p2，抛物线C2的方程为x24y.(2)设过点O的直线为ykx(k0)，联立得M，联立得N(4k,4k2)，从而|MN|，又点P到直线MN的距离d，故SPMN2，令tk(t2)，则SPMN2(t2)(t1)8，当t2，即k1时，SPMN取得最小值即当过点O的直线为yx时，PMN面积的最小值为8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018台州高三模拟)已知抛物线x22py(p0)，点M是抛物线的准线与y轴的交点，过点A(0，p)(R)的动直线l交抛物线于B，C两点(1)求证：MBMC0，并求等号成立时实数的值；(2)当2时，设分别以OB，OC(O为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D，求|DO|DA|的最大值解：(1)由题意知动直线l的斜率存在，且过点A(0，p)，则可设动直线l的方程为ykxp，代入x22py(p0)，消去y并整理得x22pkx2p20，4p2(k22)0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x22pk，x1x22p2，y1y2(kx1p)(kx2p)k2x1x2pk(x1x2)2p22p2，y1y2k(x1x2)2p2pk22p2p(k2)