全国高考数学二轮复习三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理.doc

第2讲三角恒等变换与解三角形考情考向分析正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视热点一三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)(2018广东省省际名校(茂名市)联考)若cos，则cos等于()A. BC. D答案D解析cos，cossinsin，cos12sin2.(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则等于()A. B.C. D.答案C解析因为，均为锐角，所以c，所以BC，则C为锐角，所以cos C.则sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以ABC的面积Sbcsin A48248.热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状例3(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因为a0，得sin A2sin B.根据正弦定理，得a2b.2(2018全国)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.答案解析sin cos 1，cos sin 0，22得12(sin cos cos sin )11，sin cos cos sin ，sin().3(2018全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C_.答案解析Sabsin Cabcos C，sin Ccos C，即tan C1.又C(0，)，C.4(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.押题预测1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，则ABC的面积为_押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点答案解析因为0A0，并结合sin2Ccos2C1，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a及正弦定理，得c.故ABC的面积Sacsin B.2已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域押题依据三角函数和解三角形的交汇命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因为函数f(x)的最小正周期为T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因为sin B，sin A，sin C成等比数列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(当且仅当bc时取等号)因为0A，所以0A，所以3A，所以sin1，所以10，2tan 2tan 2，当且仅当tan ，即tan ，时等号成立故选D.方法二为锐角，sin 0，cos 0，2tan 2，当且仅当，即时等号成立故选D.6(2017全国)已知，tan 2，则cos_.答案解析coscos cos sin sin (cos sin )又由，tan 2知，sin ，cos ，cos.7设ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sin Asin Bsin C234，则cos C_；当BC1时，ABC的面积等于_答案解析sin Asin Bsin C234，abc234.令a2t，b3t，c4t，则cos C，sin C.当BC1时，AC，SABC1.8(2018绵阳诊断)如图，在ABC中，BC2，ABC，AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且DE，则BE2_.答案解析如图，连接CD，由题设，有BDC2A，所以，故CD.又DECDsin A，所以cos A，而A(0，)，故A，因此ADE为等腰直角三角形，所以AEDE.在ABC中，ACB75，所以，故AB1，在ABE中，BE2(1)222(1).9(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)或cos B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624，所以b2.10(2018荆州质检)已知向量a(sin 2x，cos 2x)，b(cos ，sin )，若f(x)ab，且函数f(x)的图象关于直线x对称(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)，且b5，c2，求ABC外接圆的面积解(1)f(x)absin 2xcos cos 2xsin sin(2x)，函数f(x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，k，kZ，又|0，tan Atan Btan C24448，当且仅当mtan Btan C11，即tan Btan C2时取“”，此时tan Btan C2，tan Btan C4，tan A4，所以tan Atan Btan C的最小值是8，故正确，故选D.13(2018百校联盟TOP20联考)如图，在ABC中，D，F分别为BC，AC的中点，ADBF，若sin2CsinBACsinABC，则cos C_.答案解析设BCa，ACb，ABc，由sin2CsinBACsinABC可得，c2ab，由ADBF可得，0，整理可得，220，即b2c2bccosBAC0，即2b24c22bccosBAC0，2b24c2(b2c2a2)0，即a2b2c24c2ab，所以cos C.14如图，在ABC中，D为边BC上一点，AD6，BD3，DC2.(1)如图1，若ADBC，求BAC的大小；(2)如图2，若ABC，求ADC的面积解(1)设BAD，DAC.因为ADBC，AD