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文档简介
第八节 微分的概念及其应用,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,一、微分的定义,再如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,定义,由定义知:,定理,证,(1)必要性,(2)充分性,例1,解,导数也称为“微商”.,二、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),以直代曲,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1. 基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,结论：,3.复合函数的微分法则,此性质称为一阶微分的形式不变性.,例2. 设,求,解: 利用微分法则及一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,例4,解法1,解法2,分析,微分的计算: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,也可利用复合函数的微分法则。,例5,解,例6,解,例7,解,隐函数微分法：,两边微分，,例8,解,两边微分，,练习：,解,方程两边同时求微分得,代入得,1.,练习：,四、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值 .,解: 设,取,则,例9. 求,的近似值 .,解:,例10. 计算,例11. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用：,近似计算,作业：,P140 习
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