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1,第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性,四则运算的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性,第一章 函数与极限,2,定理1,如,则,由于,一、四则运算的连续性,也在点 x0连续;,在其定义域内连续.,在点 x0连续;,在点 x0连续.,3,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,定理2,故,同理,二、反函数与复合函数的连续性,单调增加,且连续,单调的连续函数,必有单调的连续反函数.,也是单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,4,此定理对计算某些极限是很方便的.,定理3,设函数,是由函数,与函数,复合而成,而函数,连续,则,证,5,将上两步合起来:,6,意义,例,解,可交换次序;,由,所以,2. 变量代换,的理论依据.,1. 在定理的条件下,7,例,解,这里,不连续,但,所以,8,例,解,同理可得,9,定理4,设函数,是由函数,与函数,复合而成,若函数,连续,而函数,连续,则复合而成,也连续.,是由连续函数,因此,复合而成,例,10,三角函数及反三角函数,(1),(2),(3),是连续的;,三、初等函数的连续性,单调且连续;,指数函数,对数函数,单调且连续;,(均在其定义域内连续 ),(4),幂函数,连续;,讨论,不同值.,在它们的定义域内,11,定义区间是指包含在定义域内的区间.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数 在定义区间内 连续,1. 初等函数仅在其定义区间内连续,如,这些孤立点的邻域内没有定义.,注,在其定义域内不一定连续;,12,例,例,解,解,2. 初等函数求极限的方法,注,代入法.,13,四、小结,连续函数的和差积商的连续性;,复合函数的连续性:,初等函数的连续性:,求极限的又
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