静定结构位移计算.ppt

第6章 静定结构位移计算, 本章的主要内容,本章从功的概念出发，介绍了力学的一个普遍原理虚功原理。并利用这个原理推导出了结构的位移计算公式。,本章着重介绍了代替位移计算公式中的积分运算的图乘法。,此外，本章还介绍了：,静定结构在支座移动时的位移计算;,线弹性结构的四个互等定理。, 本章的重点与难点,掌握计算位移的基本方法,单位荷载法。,尤其能熟练正确地运用图乘法。,难点：,虚拟状态的建立，各类图形的图乘。,重点：,3 本章在全课程中的地位,要求静定结构的位移，必先求出静定结构的内力。因此本章可以说是对前面所学的各类静定结构的内力计算的复习。同时，位移计算又是下章即将开始学习的超静定结构的基础。,因而,从全课程来看，本章是承上启下的一章，也是十分重要的内容。,4、 本次课的内容及要求, 了解形变、位移的概念及位移的种类。, 明确位移计算的目的。, 掌握变形体系的虚功原理（本次课重点）。,由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）,绝对位移,相对位移,点（截面）线位移,截面角位移,杆件角位移,两点（截面）相对线位移,两截面相对角位移,两杆件相对角位移,位移分类,6-1 概述,1、结构的变形与位移,1、结构的变形与位移,6-1 概述,1、结构的变形与位移,1）变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。,2）位移：结构上点的移动和面或杆的转动。,3）两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一定有形变。,6-1 概述,1、结构的变形与位移,有形变有位移,有位移无形变,6-1 概述,2、位移的种类,1）线位移：,2）角位移：,6-1 概述,3）相对线位移：,4）相对角位移：,6-1 概述,3、结构的位移产生原因,引起结构位移的原因,还有什么原 因会使结构产 生位移?,为什么要计算 位移?,6-1 概述,铁路工程技术规范规定:,4、 计算位移的目的,(1) 刚度要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。,6-1 概述,4、 计算位移的目的,(3) 超静定、动力和稳定计算 需要变形协调条件，而建立变形条件必须计算结构的位移。,(2）施工要求,6-1 概述,6-2 变形体系的虚功原理,一、质点系的虚位移原理及基本概念,质点系处于平衡的充要条件是：对于任何虚位移，外力作的总虚功等于零。, 虚位移：,指为约束条件所允许的任意微小的位移，不一定与对应的力有必然的联系。 1）是假定约束不改变而设想的位移； 2）不是任何随便的位移，它必须为约束所允许； 3）是一个假想的位移，与实位移不同。,6-2 变形体系的虚功原理, 理想约束：,指其约束反力在虚位移上所作的功恒等于零的约束。如光滑铰结，光滑链杆。 如果约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零, 则这种约束称为理想约束。以Ni表示质点系中质点Mi的约束反力的合力, ri表示该质点的虚位移, 则质点系的理想约束条件可表示为 Ni ri = 0,在以前学过： 功是力在受力质点的位移上的 投影与位移的乘积 。 其成立的条件：力是恒力且质点沿直线运动。 对于力是变力，且质点沿曲线运动的一般情况： 方法：将物体的位移“细分”成许多小段，每段可视为方向不变的小位移，小位移上的力可认为是不变的。 元位移 ：无穷小的位移，可以认为和轨迹重合。 元功：力在元位移上的功称为元功。,6-2 变形体系的虚功原理,例1：光滑接触面 光滑接触面的约束反力恒垂直于接触面的切面，而被约束质点的虚位移总是沿着切面的，即Nr，所以 Nr= 0 例2：光滑铰链 连接两刚体的光滑铰链，设AB 杆与BC 杆在B点用光滑铰链连接。由N = N得 Nr + Nr = Nr - Nr = 0,6-2 变形体系的虚功原理,3、功、实功和虚功,功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,6-2 变形体系的虚功原理,6-2 变形体系的虚功原理,二、质点系的虚位移原理推导,质点系处于平衡的充要条件是：对于任何虚位移，外力作的总虚功等于零。,由于质点系处于平衡状态，则质点系中每个质点都处于平衡状态，即任一质点Mi上的主动力和约束反力的合力为：Fi+Ni = 0 给定Mi一虚位移ri，则合力所做的虚功为 （Fi+Ni）ri=0 质点系中n个这样的等式相加，有（Fi+Ni）ri= Fi ri+ Niri=0，由于是理想约束， Niri=0， 所以： Firi=0,三、刚体系的虚功原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。,6-2 变形体系的虚功原理,刚体虚功原理,应用I 虚位移原理 实力状态 + 虚位移状态 求力,练习1：求B点反力FB,6-2 变形体系的虚功原理,刚体虚功原理,应用II 虚力原理 实位移状态 + 虚力状态 求位移,练习2： 求由于支座A移动引起的位移DC,6-2 变形体系的虚功原理,1.实位移状态,2.虚力状态：沿所求位移方向假设一外力P,3.列虚功方程： 特殊地：令P=1,6-2 变形体系的虚功原理,四、变形体系的虚功原理,变形体系处于平衡的充要条件是：对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其形变上所作的虚功之和，或外力虚功等于变形虚功。,6-2 变形体系的虚功原理,按两种途径求总虚功：, 着眼于力：,力状态,力,外力 (P1 、P2 、q、 M、 R1、 R2 、 R3 ),内力 (M N Q),6-2 变形体系的虚功原理,又因为：, 任何相邻微段的相邻截面上内力大小相等，方向相反。, 虚位移是协调的，满足变形连续条件。,6-2 变形体系的虚功原理, 着眼于变形：,位移状态,ABDC,ABD”C”,ABDC,刚体位移,变形位移,位移,刚体位移,变形位移,6-2 变形体系的虚功原理, 着眼于变形：,位移状态,微段平衡，由刚体虚功原理,6-2 变形体系的虚功原理,变形体系处于平衡的充要条件是： 对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其形变上所作的虚功之和，或外力虚功等于变形虚功。,6-2 变形体系的虚功原理,平面杆系：,虚功方程,力：,位移：,6-2 变形体系的虚功原理,两种状态, 虚位移原理,6-2 变形体系的虚功原理,对于给定的力状态，另虚设一个位移状态，利用虚功方程来求解力状态中的未知力。,应用I 虚位移原理 实力状态+虚位移状态求力,外力方面 外力FF处对应位移D 支反力FRFR处对应位移C 内力方面 轴力FN对应应变du 弯矩M对应应变ds 剪力FS对应应变rds,6-2 变形体系的虚功原理,两种状态,虚力原理,6-2 变形体系的虚功原理,对于给定的位移状态，另虚设一个力状态，利用虚功方程来求解位移状态中的位移,应用II 虚力原理 虚力状态+实位移状态求位移,外力方面 外力 处对应位移D 支反力 处对应位移C 内力方面 轴力 对应应变du 弯矩 对应应变ds 剪力 对应应变rds,6-2 变形体系的虚功原理,很显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理 。,显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形体的虚力原理计算。,支座移动产生的位移刚体位移,制造误差产生的位移刚体位移,荷载作用产生的位移变形体位移,温度改变产生的位移变形体位移,6-2 变形体系的虚功原理,广义力、广义位移,一个力系作的总虚功 W=P ,P-广义力; -广义位移,例: 1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,杆系结构的虚功方程:,虚力原理,求位移,位移状态（实际状态）,力状态（虚拟状态）,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,外力：,内力：,由上式可求出位移K。,力状态,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,在虚拟的力状态中，于所求位移点沿所求位移方向加一个单位荷载（广义力），以使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位移方法。,单位荷载法：,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,说明：,如果计算结果为正，位移和单位荷载方向相同，反之亦然。,如何设置虚拟状态：,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,2、力的虚设方法,力的大小 一般虚设单位力。,力的位置 作用在所求位移的点及方向上。,力的方向 随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的， 说明与假设的方向相反 。,力的性质 求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转 角要加一对单位力矩。,求C点竖向位移,求B点水平位移,求C点转角位移,求A、B两点 相对竖向位移,2、力的虚设方法,求A、B两点 相对水平位移,求C点相对转角位移,求CD杆相对转角位移,2、力的虚设方法,6-4 荷载作用下的位移计算,若MP、NP、QP表示实际状态中微段上的内力。由材料力学知：,其中：,E材料弹性模量,I杆件截面的惯性,A杆件截面的面积,G剪切弹性模量,K剪应力沿截面分布不均匀引起的改正系数,矩形：,园：,6-4 荷载作用下的位移计算,平面杆系结构在荷载作用下的位移计算公式。,6-4 荷载作用下的位移计算,说明：,1.逐段、逐杆积分。,2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率不大（截面高R），可得较精确的解。,3.对以受弯为主的结构（梁、刚架）：,对只有轴力的结构（桁架）：,组合结构则应分别对待。,6-4 荷载作用下的位移计算,例1：求cy,1. 建立力状态，在C点加单位竖向力。,2. 建立各杆内力方程：,3. 求位移：,6-4 荷载作用下的位移计算,积分注意事项：, 逐段、逐杆积分。, 两状态中内力函数服从同一坐标系。, 弯矩的符号法则两状态一致。,6-4 荷载作用下的位移计算,例2、求ADC改变量。,6-4 荷载作用下的位移计算,1.求各杆内力。,解：建立力状态。,6-4 荷载作用下的位移计算,2.求位移：,6-4 荷载作用下的位移计算,例3、 求：,解：,6-4 荷载作用下的位移计算,例4、 求：,解：,6-4 荷载作用下的位移计算,6-4 荷载作用下的位移计算,例5：求图示简支梁中点C的竖向位移 。,解：（1）取虚力状态如图：,（2）写出 弯矩、剪力 的方程：,（3）计算,/,L,/,2,L,/,2,2,6-4 荷载作用下的位移计算,（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响,弯曲变形：,剪切变形：,两者的比值：,若高跨比为：,则：,6-4 荷载作用下的位移计算,解：（1）求,写出杆件的 方程,BA杆：,6-4 荷载作用下的位移计算,（2）求,写出杆件的 方程,BC杆：,BA杆：,6-4 荷载作用下的位移计算,各种静定结构位移的计算公式如下:,（1）梁、刚架 只考虑弯曲变形,（2）桁架 只有轴向变形,（3）组合结构受弯构件只考虑弯曲变形,6-4 荷载作用下的位移计算,（4）三铰拱 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形, 拉杆只有轴向变形 。,曲杆的积分计算可用数值计算代替:,、,、,、,、,、,6-4 荷载作用下的位移计算,6-5 图乘法,受弯构件的位移计算公式:,若EI是常数就可提到积分号的外面,上式就变为:,代入上式有:,是常数,可提到积分号的外面,有:,令:,得：,6-5 图乘法,1. 图乘法的应用条件：,（1）等截面直杆，EI为常数；,（2）两个M 图中应有一个是直线；,（3）yc应取自直线图中。,2. 若A与yc在杆件的同侧, 取正值；反之，取负值。,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.,6-5 图乘法,上述图乘公式的适用所有直线图形的情况，例：,6-5 图乘法,几种图形的面积及形心,6-5 图乘法,复杂图形的处理：,+,=,+,=,6-5 图乘法,分段图乘,当整段弯矩图不满足相关条件但分段满足时可分段进行图乘,折线分段图乘,变截面分段图乘,6-5 图乘法,叠加图乘,同侧叠加图乘,异侧叠加图乘,6-5 图乘法,例：求A点的转角和C点的 竖向位移。,解：（1）求A点的转角,（2）求C点的竖向位移,6-5 图乘法,例：求图示三铰刚架C点的 相对转角。 解：荷载作用下的弯矩图和虚 设力作用下的弯矩图如图 所示。,B,20kN/m,Mp图,6-5 图乘法,6-5 图乘法,例：求图示刚架C、D两点的距离改变。EI=常数,实际状态,虚拟状态,图乘分三段进行：CA、AB、BD，然后累加 其中CA段和BD段MP=0，图乘结果为零 AB段MP图为抛物线、 为水平直线,6-5 图乘法,例：求图示刚架A点的竖向位移，并勾绘刚架的变形曲线,实际状态,虚拟状态,取MP图为面积Aw，在 图上取竖标yc,变形曲线：以实际弯矩图MP方向为杆件弯曲后的外凸方向，弯矩为零的点为反弯点变形曲线拐点,6-5 图乘法,仅考虑支座移动 静定结构不产生内力和变形,通常亦可由几何关系求得,6-7 静定结构支座移动时的位移计算,公式说明,1.正负号规定 若FR与c方向一致时，其积为正，相反则为负,2. 计算步骤 沿求解位移方向施加单位荷载 FK=1 根据平衡条件求出单位荷载作用下相应于支座位移c的支座反力 FR 代入公式求解，注意正负号,6-7 静定结构支座移动时的位移计算,例：已知图示三铰刚架右边支座的竖向位移为By=0.06m（向下），水平位移Bx=0.04m （向右）。求由此引起的A端转角fA,1.沿位移方向虚设单位荷载 2.根据平衡条件求出单位荷载作用下相应于支座位移c的支座反力FR 3.代入公式进行计算,6-7 静定结构支座移动时的位移计算,6-8 线性变形体系的互等定理,本节介绍线性变形体系的四个互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。 1) 功的互等定理 设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。,(a) 第一状态,(b) 第二状态,这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：,(1)先加FP1后加FP2，外力的总功,(2)先加FP2后加FP1，外力的总功,6-8 线性变形体系的互等定理,功的互等定理: 即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。, 外力所作总功与加载次序无关， 即：W1 = W2 由1、2可得：,6-8 线性变形体系的互等定理,2) 位移互等定理,在功的互等定理中，令：FP1 =FP2 =1,由功的互等定理式（a）则有：,即：,6-8 线性变形体系的互等定理,位移互等定理: 即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。,在位移互等定理中： 单位力广义力（单位力偶、单位集中力）； 位 移广义位移（线位移、角位移）。,6-8 线性变形体系的互等定理,左图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移11时，使支座2产生的反力r21；另一种即为支座2发生单位位移21时，使支座1产生的