FORTRAN数值方法及其在物理学中应用.ppt

1,第二章 物理图形、图象与计算机模拟,2,2.1 简谐振动及其合成曲线模拟,一、简谐振动的 曲线和 曲线,例1：画出 曲线及对应的 曲线，其中,3,Implicit real*8(a-h,o-z) open(1,file=x-t.dat) open(2,file=v-t.dat) write(*,*)input A,w,phi,N read(*,*)A,w,phi,N pi=3.1415926 do 10 I=1,N t=2.*pi/w t=t*float(I)/N x=A*cos(w*t+phi) v=A*w*cos(w*t+phi+pi/2.) write(1,*)t,x 10 write(2,*)t,v end,计算程序,4,图形模拟,Origin简介,5,二、简谐振动的合成,1.同方向简谐振动的合成,同频率情况,其中,6,例2：试给出两个同方向同频率简谐振动的合成程序,open(1,file=x1.dat) open(2,file=x2.dat) open(3,file=x.dat) write(*,*)input A1,A2,w,phi1,phi2=? read(*,*)A1,A2,w,phi1,phi2 pi=3.1415926 do 10 I=1,1000 t=2.*pi/w t=t*float(I)/1000 x1=A1*cos(w*t+phi1) x2=A2*cos(w*t+phi2) x=x1+x2 write(1,*)t,x1 write(2,*)t,x2 10 write(3,*)t,x end,7,图形模拟,两个同方向同频率简谐振动的合成,8,EX2-1: 编程完成例2。,两个同方向同频率简谐振动的合成,9,不同频率情况,若 ，会出现拍的现象。,合振动不再是简谐振动，利用旋转矢量法可以求得合振动的振幅为,中间经历的时间 称为周期，显然 ， 频率：,振幅在 和 间周期性地变化，属振动调制。 合振动振幅从一次极大到相邻的另一次极大。,10,假设两个分振动振幅都为 ，圆频率 相差较小，取它们的初相位,此时合成运动的位移可写成：,变化主要取决于 ，振幅按变化 。,都是零，则可以分别表示为：,由于圆频率 远大于圆频率 ，,11,图形模拟,两个同方向频率近似的简谐振动的合成,12,2. 两个相互垂直方向简谐振动的合成,若 ，则有合振动方程：, （一、三象限直线方程）,（二、四象限直线方程）, （椭圆方程）,13,质点轨迹曲线,下图所示为两个频率相同、振幅相等、相互垂直而相位差,两个频率相同、振幅相等、相互垂直简谐振动的合成,为 下的质点轨迹曲线。,14,若 ，但满足一定整数倍数比关系时，则会,下图所示为两个频率不同（满足 ）、振幅相等、,利萨如图形示意图,出现利萨如图形：,相互垂直而相位差为0， 下的质点轨迹曲线。,15,2.2 阻尼运动和阻尼振动的模拟,一、阻尼情况下物体运动的 曲线,例3：质量为 的摩托快艇以速度 行驶，它受到的摩擦阻力 与速度成正比，设比例系数为 ，则 ，试求关 闭发动机后，对 的变化规律。 （取,解：物理分析与数学模型,方法1:,16,方法2：用 （差商法）,17,open(1,file=vt.dat) write(*,*)input a,v0,t=? read(*,*) a,v0,t v1=v0 t0=0. v10=v0 write(1,*)t0,v0,v10 dt=t/1000. do 10 j=1,1000 tt=t*float(j)/1000. v=v0*exp(-1.)*a*tt) v1=v1-a*v1*dt 10 write(1,*)tt,v,v1 end,模拟程序,18,二、阻尼振动,问题：弹簧振子阻尼振动的方程为 阻尼因子 弹簧振子的角频率,试用函数近似法作出位移与时间的函数变化曲线。,19,问题分析:,解：将二阶微分方程化为一阶微分方程,即,而,20,实例说明：,例4：画出当 ， ， 时， ， ， ， 秒下的 曲线。,计算程序： open(1,file=v-t.dat) open(2,file=x-t.dat) write(*,*)input B,w0,x0,v0,t=? read(*,*)B,w0,v0,x0,t dt=t/1000. v=v0 x=x0 tt0=0.0 write(1,*)tt0,v0 write(2,*)tt0,x0,do 10 j=1,1000 tt=float(j)*dt f=-2.*B*v-w0*2*x v=v+f*dt x=x+v*dt write(1,*)tt,v 10 write(2,*)tt,x end,21,阻尼振动曲线示意图,图形模拟,22,不同阻尼情况振动曲线示意图,图形模拟,23,EX2-2: 编程完成例3。,EX2-3:一石子从空中静止下落，已知,曲线。其中,。,作业,24,2.3 驻波的模拟,定义：两列振幅、振动方向和频率都相同而传播方向相 反的两列同类波相干叠加形成驻波。,设有两列振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波，,按叠加原理，合成的驻波的波函数为:,25,在 值满足下式的各点，振幅为零驻波波节处,相邻两波节的距离为半波长，即：,讨论:,各质点都在作同频率的谐振动。,的振幅按余弦函数规律分布。,26,在 值满足下式的各点，振幅最大驻波波腹处,相邻两波腹间的距离也为半波长，即：,l 波节处的质点振动的振幅为零，始终处于静止； l 波腹处的质点振动的振幅最大，等于 。 l 其他各处质点振动的振幅则在零与最大之间。 l 两相邻波节或两相邻波腹之间相距半波长。 l 波腹和相邻波节间的距离为 ，波腹和波节交替作等距离排列。,讨论:,27,驻波模拟程序流图,28,implicit real*8(a-h,o-z) open(1,file=zhubo.dat) open(2,file=zhubo1.dat) open(3,file=zhubo2.dat) write(*,*)input A,x,wavelength read(*,*)A, x, wa pi=3.1415926 T=2.*pi time=0.5*T dx=x/1000,do 10 I=1,1000 x=dx*float(i) y1=A*cos(2*pi)*(time/T-x/wa) y2=A*cos(2*pi)*(time/T+x/wa) y=2*A*cos(2*pi*x/wa)*cos(2*pi*time/T) write(1,*)x,y write(2,*)x,y1 10 write(3,*)x,y2 end,模拟程序,29,图形模拟,，,30,31,每一时刻，驻波都有一定的波形，此波形既不向右移，也不向左移，各点以各自确定的振幅在各自的平衡位置附近振动，没有振动状态或相位的传播，因而称为驻波。,又沿相反方向同时通过平衡位置。,有相同的符号，而相邻的两端符号总是相反的，这说明在驻,波中同一段上各质点的振动相位相同，而相邻两段中的各点,振动相位相反。,同一段内各点沿相同方向同时达到各自振动位移的最大值，,又沿相同方向同时通过平衡位置；,波节两侧各点同时沿相反方向达到振动位移的正、负最大值，,32,当波在自由端反射时，则无相位突变，形成驻波时，在,半波损失,在弦线上进行的驻波实验，反射点处弦线是固定不动的，,这一点只能是波节。这说明反射波和入射波的相位在反射,点正好相反，即入射波在反射点反射时相位有 的突变。,根据相位差 与波程差的关系（ ），相位差为,说，反射波和入射波之间存在着半个波长的波程差，这种,相位突变 称为半波损失。,就相当于半个波长的波程差，这说明对固定端的反射点来,自由端出现波腹。,33,作业,34,2.4 点电荷与点电荷系的等势线和电场模拟,一、等势线方程,要求：作出满足等势线方程 的等势线。,例5：一个点电荷 在 处产生的电势,等势线方程为：,即,圆心在 ，半径为 的圆。,由上式可得：,画图时可采用参数方程：,35,例6：两个点电荷的电势分布。,等势线方程为：,36,二、隐函数曲线的绘制（ ）,（这里引入参数 ）,指定 (如 )，计算出 和 ，由上式可得 和 。,若点 处电势为 ，则 处的电势也为 。,37,编程步骤:,把上述点 连起来，就是 的等势线。,Step2:,38,三、 等势线作图步骤,39,作图步骤:,3.,而,同样有：,因此有：,取：,40,计算才会保证曲线的完整性。,41,open(1,file=a1.dat) write(*,*)input q1,q2,x1,x2=? read(*,*)q1,q2,x1,x2 x=x* y=0.0 write(1,*)x,y dt=0.005,do 10 j=1,100 r1=(x-x1)*2+y*2 r1=sqrt(r1) r2=(x-x2)*2+y*2 r2=sqrt(r2) dx=y*(q1*r2*3+q2*r1*3)*dt x=x+dx dy=(-1.)*(q1*(x-x1) *r2*3+ q2*(x-x2)*r1*3)*dt y=y+dy 10 write(1,*)x,y end,模拟程序,42,图形模拟, （异号）,两个点电荷电势等势线示意图,（同号）,43,同号情况,44,q1=-1, q2=1, x1=-2, x2=2,q1=1, q2=-1, x1=-2, x2=2,异号情况,45,四、点电荷系电场线的图像模拟,单个点电荷的电场：,点电荷系的电场：,例8：如图所示，A、B、C三个点电荷组成一个点电荷系，其中A(0,0)点带电为 ， B(0,1)点带电亦为 ，最后C(0,-1)点带电 ，试模拟 平面内电场线分布。,46,点电荷系在某点产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这称为电场强度叠加原理。,所以，在XOY平面内电场强度为：,电场线上每一点的切线方向反映了该点的场强方向，有：,解上述方程可得：,47,此超越方程（等值线）即为这个点电荷系的电场线方程，,点电荷系的电场线模拟,常数C选取不同的值对应不同的电场线。(C=0.13,间隔0.1）,48,例9：电偶极振子电场的模拟,设电偶极子的电偶极矩为：,在球坐标系下，任意时刻t空间任意处r的辐射电场为：,辐射的电场线满足方程:,49,解上述方程即可得电场线满足的方程：,当C 取不同值时可得到不同的辐射电场线。,电偶极子辐射电场线模拟,50,五、带电粒子在电磁场中的运动,在均匀磁场中带电粒子受洛伦茨力的作用,时：,51,粒子回转周期与频率分别为：,当粒子速度与磁场夹角为 时：,带电粒子作螺旋运动：,52,其轨迹为一圆柱螺旋线，参数方程为：,53,均匀磁场中带电粒子运动轨迹模拟,54,其中：,在直角坐标系下：,六、 粒子散射实验,55,对应的加速度a：,粒子速度为：,所以 粒子坐标为：,56,散射粒子运动轨迹模拟,57,2.5 波的干涉和衍射图形模拟,一、波的干涉图形模拟,物理分析（在均匀介质中传播）：,波源：,点：,这里,58,点的合振动：,其中,(隐函数等值线方程),设有两列相干波，如果初相相等，则干涉条件可简化为用,波程差 来表示，即当满足：,处的空间各点，合振幅最大，这时合振幅 ，,强度加强；,59,处的空间各点，合振幅最小，这时合振幅,当波程差界于上述两者之间，则合振幅也处于上述两者,波的干涉图象 (两波源相距为4m, =1.5m， ),(隐函数等值线方程),大小之间。,强度减弱；,60,二、等厚干涉（牛顿环）,如下图所示：d表示入射点处膜的厚度, 当垂直入射的单色平行光透过平凸透镜B后, 在空气层的上、下表面发生反射形成两束向上的相干光。这两束相干光在平凸透镜下表面相遇而发生干涉。,等厚干涉实验及牛顿环干涉图样,61,两束相干光的光程差为：,其中：,两束相干光的相位差为：,牛顿环干涉光强分布为：,直角坐标系中,62,模拟牛顿环干涉图样光强分布,63,明纹位置：,暗纹位置：,讨论：,(1) 测透镜球面的半径R：已知，测m、rk+m、rk，可得R,(2) 测波长：已知R，测出m、rk+m、rk，可得,(3) 检测透镜的曲率半径误差及其表面平整度。,(4) 透射图样与反射图样互补。,64,三、波的衍射图形模拟,均匀光源的夫琅禾费多缝衍射，其衍射场强度分布为：,式中 ， ，其中 是狭缝宽度， 是光栅常数， 是,衍射角， 是入射波长， 是狭缝的有效数目。,65,单缝衍射,显然当衍射角 时， ，,在衍射屏上某一点 处的强度为,单缝衍射强度分布曲线,其中 ， 为 点合振动的振幅。,此时 ，光强最大， 为中央明纹中心处强度。,66,单缝衍射图样模拟,67,讨论:,当 时， ，,由此得 ，解得：,，此时为暗纹条件。在相邻暗纹之间，有一次极大，,出现次极大条件为：,的增加很快减少。,由上式可知，,68,实验衍射屏放置在XOY平面上，在屏上O点有一半径为R的圆孔，一束平行于Z轴的光线垂直照射圆孔，在透镜后方的焦平面上可得衍射图样。,四、圆孔的夫琅禾费衍射,69,圆孔衍射光强公式为：,其中 是一阶