高二向量的数量积培优组

学习 让人生更美好 高二 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 11 课时课题 向量的数量积 【教学目标】1、理解向量夹角的定义，掌握向量数量积的概念；2、掌握向量数量积的坐标表示；3、能利用向量的数量积的有关知识求向量的模以及两个向量的夹角、向量的垂直和平行问题；【教学重点】向量的数量积【教学难点】会利用向量数量积的坐标表示求向量夹角、长度及垂直为题【教学方法】讲练结合【知识要点】一、向量的夹角对于两个非零向量与，如果以O为起点，作=，=，则射线OA、OB的夹角称为向量和的夹角（如图）二、向量的数量积定义：如果两个非零向量，的夹角为（0），那么我们把|cos叫做向量与向量的数量积（或内积），记作，即=|cos。【注意】（1）两个向量的数量积是一个数量，不是向量；（2）=|0，当且仅当=0时，=；（3）根据定义，|cos叫做向量在向量的方向上的投影，即:两个向量，的数量积是其中的一个向量的模|与另一个向量在向量的方向上的投影|cos的乘积。（4）在向量的数量积的记法中，与之间有一个符号“”（读作“点”）它不是乘号，因此不能用符号“”来代替，也不能省略，、的数量积在有的书中被称为、的点积，或称为、的内积。在向量运算中，另有一种运算叫做、的向量积，记作（“”读作“叉”），它也不是乘号，也不能用符号“”来代替，也不能省略。（5）投影：在数量积=|cos中，把|cos叫做向量在的方向上的投影。（6），的几何意义：两个向量和的数量积是其中一个向量的模|与另一个向量在方向上的投影|cos的乘积。例1：已知，是三个非零向量，下列命题中是真命题的有 （1）|=|/； （2），反向=|；（3）|+|=|；（4）|=|=|例2：下列各式中正确的是 （ ）（A）0a= （B）0=0 （C）0= （D）=三、数量积的运算性质1. =|0，当且仅当=0时，=2. =3. （）=（）=（）（R）4. （+）=+例3：已知向量与夹角为=120且|=4，|=2，求：（1）（2）（+）；（2）|34|四、向量的数量积的坐标表示法设=（x，y），=（x，y），则=xx+yy，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和，与夹角为，则cos=。例4：已知=（2,1），=（3，4），=1，=9，求。五、向量垂直的充要条件设=（x，y），=（x，y），则=0或xx+yy=0例5：已知|=3，|=2，与的夹角为，=3+5，=m3，当m为何值时，与相互垂直？【巩固练习】1. 在ABC中，AB=2，BC=，CA=3（1）求的值；（2）设ABC的外心为O，求满足关系式：=p+q的实数p，q的值。2. 设|=s，|=t，（1）若、的夹角为，求|+|、|；（2）若s、t0，|+|=|，证明：与相互垂直3. ABC中，已知A（4,1），B（7,5），C（4,8），试判断ABC的形状。4. 若=（cos，sin），=（cos，sin），且满足|k+|=|k|（k0）（1）用、表示；（2）用k表示；（3）求的最小值及此时与所成的角的大小。5. 在边长为1的等边三角形ABC中，若=，=，=，求+。6. 已知向量+与43垂直，且向量2+与垂直，求与的夹角。【自我检测】1. 若为两个非零向量的夹角，则的取值范围是 2. 若向量，满足+=且|=3，|=1，|=4，则+= 3. 在ABC中，若BC=5，AC=4，C=45，则= 4. 若|=2，=（2,3），且，则= 【提高练习】1. 在ABC中若+|=0，则ABC的形状可以判定为 2. 已知向量=（1,2），=（m，1），分别求出当+2和2平行和垂直时，实数m的值。3. 已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），x，。（1）求及|+|；（2）求函数f（x）=（R且0）的最小值。4. 已知以ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，M为BC的中点，如图所示，求证：AMEF拓展：1. 已知：， . （1）求关于的表示版，并求的最小正周期； （2）若时，的最小值为5，求的值.2. 已知 ,，.（1）当时，求使不等式成立的的取值范围；（2）求使不等式成立的的取值范围.3. 平面上三个非零向量两两夹角相等，则等于_. 4.设，点是线段上的一个动点，若则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 5.（1）在ABC中，已知，则的值是_ （2）已知集合 ，则_ （3）把函数的图像按向量平移后，得到的