高一第4讲 等比数列(学生)

高一第4讲 等比数列及其综合运用一、【复习与巩固】1、（1）等比数列的通项公式：；推广：；（2）等比中项：为与的等比中项. 即（同号）；2、等比数列的性质：（1）.若是等比数列，公差为，则；（2）.若是等差数列，,且，则.特别地：若则；（3）数列是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即； 3、相关结论（1）.若、是分别以为、公比的等比数列，则，为等比数列；则 为等比数列；（2）在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列为等比数列，且公比为；连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列；（3）若，成等差数列，则，成等比数列；（4）等比数列的单调性：当，或，时，数列为递增数列；：当，或，时，数列为递减数列；：当时，数列为常数列；：当时，数列为摆动数列；（5）用函数的观点看等比数列的通项：等比数列的通项公式，可以改写为当，且时，是一个指数函数，而 是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此等比数列的图像是函数的图像上的一群孤立的点。4、等比数列的常见设法采用“对称设法”来设其项（1）若三个数成等比数列，可设为或，；（2）若四个数为等比数列，可设为或，这里隐含了 这一条件，可能会产生增根；若题目中有各数之积为定值时，常采用后一种设法。5、等比数列的证明方法（1）定义法：（是不为0的常数，） 是等比数列；（2）等比中项法：是等比数列；（3）通项公式法：（均是不为0的常数，）是等比数列；6、等比数列前项和 7、等比数列的前项和的性质：（1）若项数为，则；若项数为，则（2）（3），成等比数列，其公比为8、若数列为等差数列，数列为等比数列，则称为等差比数列，求其前 项和运用错位相减法；二、【典例剖析】考点1 等比数列的性质及运用【例1】（2010湖北）已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则A.B. C. D【练习1】（2012安徽）公比为等比数列的各项都是正数，且，则=（ ） 【例2】（2012新课标）已知为等比数列，则（ ） 【练习2】（1）（2010全国）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则=(A) (B) 7 (C) 6 (D) （2）已知是等比数列，若，则=_（3）、已知等比数列满足 ，则=_（4）、在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（5）、在等比数列中，若，则（ ） 【例3】设，则数列的通项公式= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【练习3】已知为关于的一次函数，为不等于的常数，且满足，设，则数列为（ ）（A） 等差数列 （B）等比数列 （C）递增数列 （D）递减数列考点2 等比数列的证明及综合运用【例4】、设二次方程有两个实根和，且满足 .（1） 试用来表示； （2）求证：是等比数列； （3）求数列的通项公式.【练习4】已知数列中，。（）求使数列成等比数列的的值；（）求数列的通项公式。【例5】设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。【练习5】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、。（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。【例6】已知数列，是其前项和，。（）求数列的通项公式；（）令数列的前项和为，求；（）设，求数列的前项和。【练习6】（08年陕西）已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和【练习7】（06湖北）已知二次函数的图像经过坐标原点，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数；考点3 综合运用【例7】、已知数列中，前项和满足.（1） 求证：数列是等差数列；（2） 求数列的通项公式.【例8】（06年福建）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数列。【例9】在等比数列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn；（3）是否存在kN*，使得k对任意nN*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由【例10】、已知数列中