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(七)计数原理1已知等式(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9a10(x1)10，其中ai(i0,1,2，10)为实常数求：(1)n的值；(2)an的值解(1)在(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9a10(x1)10中，令x1，得a01.令x0，得a0a1a2a9a102532.所以na1a2a1031.(2)等式(x22x2)5a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9a10(x1)10两边对x求导，得5(x22x2)4(2x2)a12a2(x1)9a9(x1)810a10(x1)9.在5(x22x2)4(2x2)a12a2(x1)9a9(x1)810a10(x1)9中，令x0，整理得ana12a29a910a10525160.2设等差数列an的首项为1，公差为d(dN*)，m为数列an中的项(1)若d3，试判断m的展开式中是否含有常数项？并说明理由；(2)证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，m的展开式中均不含常数项(1)解因为an是首项为1，公差为3的等差数列，所以an3n2.假设m的展开式中第r1项为常数项(rN)，Tr1Cxmrr，于是mr0.设m3n2(nN*)，则有3n2r，即r2n，这与rN矛盾所以假设不成立，即m的展开式中不含常数项(2)证明由题设知an1(n1)d，设m1(n1)d，由(1)知，要使对于每一个m，m的展开式中均不含常数项，必须有：对于nN*，满足1(n1)dr0的r无自然数解，即r(n1)N.当d3k(kN*)时，r(n1)2k(n1)N.故存在无穷多个d，满足对每一个m，m的展开式中均不含常数项3已知f(x)(2)n，其中nN*.(1)若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；(2)当x3时，求证：f(x)必可表示成(sN*)的形式(1)解因为Tr1C2nrx，当3时，r6，故x3项的系数为C2n614，解得n7.(2)证明由二项式定理可知，(2)nC2n()0C2n1()1C2n2()2C20()n，设(2)npq，p，qN*，而若有(2)n，a，bN*，则(2)n，a，bN*.()()(2)n(2)n1，ab1，令as，sN*，得bs1，(2)n必可表示成的形式，其中sN*.4设nN*，n3，kN*.(1)求值：kCnC；k2Cn(n1)CnC(k2)；(2)化简：12C22C32C(k1)2C(n1)2C.解(1)kCnCkn0.k2Cn(n1)CnCk2n(n1)nk0.(2)由(1)可知当k2时，(k1)2C(k22k1)Ck2C2kCCn(n1)CnC2nCCn(n1)C3nCC.故12C22C32C(k1)2C(n1)2C(12C22C)n
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