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数学思想方法,国培讲座,一、数学思想方法释义 数学思想 数学方法 数学思想方法,1 数学思想的含义 现代汉语中，思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果 辞海称思想为理性认识 中国大百科全书认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果 可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识 由此推演，数学思想应是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中 数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”，如微积分思想、概率统计思想等，又包括对数学的起源与发展、数学的本质和特征、数学内部各分支各体系之间对立统一关系、数学与现实世界的关系及地位作用的认识，如常量与变量之间的辩证关系的认识等,2 数学方法的含义 方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征 方法因问题而生，因能解决问题而存 数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径,数学方法的层次 第一层次是基本和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等； 第二层次是与一般科学方法相应的数学方法，如类比联想、分析综合、归纳演绎等； 第三层次是数学中的特有方法，如数学表示、数学等价、数形转换等； 第四层次是中学数学中的解题方法和技巧,将数学方法分为宏观的和微观的 宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法 微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类： (1)逻辑学中的方法例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色 (2)数学中的一般方法例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法代数中常称图象法等这些方法极为重要，应用也很广泛 (3)数学中的特殊方法例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法以及平行移动法、翻折法等这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之,3数学思想与方法的关系 数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性； 数学思想是内隐的，而数学方法是外显的； 数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华； 如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相当于建筑施工的手段 数学思想和数学方法又具有相对性同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想 数学思想方法,二 、数学思想方法的教育意义 数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）数学的各种方法是数学最重要的部分 弗利德曼,读一段文字，有一个段落大意，读一篇课文，有一个中心思想，同样，一门学科也有一个大意和中心思想，如解析几何的中心思想，这种思想在意义上如同课文的中心思想，是建立在这门学科内容之上的，蕴涵在内容之中，经人们由内容精练概括出来的，而高于内容的东西数学思想的一个层面就是这种思想,1米山国藏数学的精神思想和方法 无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的 米山国藏,三、数学家思想方法简介,数学中的精神 将数学处理问题的一般思维活动称为数学的精神，概括了七种主要的数学精神活动： （1）应用化的精神， （2）扩张化、一般化的精神， （3）组织化、系统化的精神， （4）致力于发明、发现的精神， （5）统一建设的精神， （6）严密化的精神， （7）思想经济化的精神,重要的数学思想 （1）“数学的本质在于思考充分自由”的思想， （2）极限的思想， （3）构成“不定义的术语组”与“不证明的命题组”的思想 （4）集合与群的思想， （5）把有限长看作无限长的思想， （6）把曲线看作直线的思想， （7）使得特异几何、特异数学、特异运算能够出现的思想， （8）二维空间、四维空间、高维空间的思想， （9）超限数的思想， （10）数学的神秘性与数学美的思想,数学思想方法的教学,数学教学论之,9.5数学思想方法的教学,数学教育的任务，是让学生学习和掌握数学科学。一个数学教师，必须具备丰富的数学知识，掌握数学技能，更重要的是理解数学的本质，掌握数学思想方法。只有这样，学生才能受到数学科学的熏染，了解数学科学体系，体会数学科学的精髓,数学教学论之,数学教学有两种不同的水平。一种是介绍数学概念，陈述数学定理和公式，指出解题的程式和套路，以便通过考试。高级水平是着眼于数学知识背后的数学思想方法，在解决数学问题的过程中进行深层次的数学思考，经过思维训练，获得数学美学的享受。,数学教