031001114_陈传辉_金融衍生品定价与套期保值问题研究

本科生毕业设计（论文）题 目：金融衍生品定价与套期保值问题研究姓 名： 陈传辉 学 号： 031001114 学 院： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2011级 指导教师： （签名）2015 年 6 月1日福州大学本科生毕业设计（论文）诚信承诺书毕业设计（论文）题目中文：金融衍生品定价与套期保值问题研究Study on pricing and hedging of financial derivatives学生姓名年 级2011级学 号所在学院数学与计算机科学学院所学专业数学与应用数学学生承诺我承诺在毕业设计（论文）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，在本人的毕业设计（论文）中未剽窃、抄袭他人的学术观点、思想和成果，未篡改实验数据，如有违规行为发生我愿承担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：2015年 6 月 1 日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业设计（论文）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人认真的核查，该同学的毕业设计（论文）中未发现有剽窃、抄袭他人的学术观点、思想和成果的现象，未发现篡改实验数据。指导教师（签名）：2015年 6 月 1 日金融衍生品定价与套期保值问题研究摘 要经济全球化已经成为当今世界经济发展的主要目标和趋势。商品和资本在全世界范围内快速循环以便寻找到最合理的配置，促进了金融市场的创新与发展，从而推动衍生品市场的快速发展，因而金融衍生品的定价与套期保值问题也成为广大投资者与学者研究的重点。从1973年布莱克和斯科尔斯发表了一篇关于期权定价的开创性论文以来,紧接着由考克斯、墨顿、鲁宾斯坦、罗斯、夏普等人进一步提出了“二叉树模型”，进一步推广发展了期权定价模型，解决了美式期权定价问题，关于期权定价的理论和应用被不断地发展和补充，现在已经推广到金融衍生品的定价理论问题上。金融衍生品的定价与套期保值已经成为当今数理金融学的热点研究问题之一。在非风险中性情况下本文通过鞅方法与概率测度的方法研究了金融衍生品的定价方法与套期保值策略。同时本文还进一步研究了金融衍生品在不完全市场上的定价方法套期保值策略的问题，将这一问题的求解转换成解决希尔伯特空间上的一个向量到其闭子空间的投影问题,对给定鞅测度下的金融衍生品运用投影理论进行分解。在非完全市场上利用垂直投影理论得出标的资产遵循鞅过程的金融衍生品的近似定价方法与套期保值策略；进一步扩展投影理论,研究了混合资产组合下金融衍生品的定价问题,得到该金融衍生品的近似定价；在离散状态下,通过方差逼近方法找出了在非完全市场上金融衍生品H的套期保值投资策略。关键词：金融衍生品; 鞅方法; 等鞅测度; 套期保值; 非完全市场; 投影理论; 方差逼近IStudy on pricing and hedging of financial derivativesAbstractThe economic globalization has already become the main trend of world economic development and target.The rapid circulation of goods and capital across the world in order to find the most reasonable configuration, promote the innovation and development of the financial market, thus promoting the rapid development of the derivatives market,and financial derivatives pricing and hedging problem has also become the focus of investors and scholars.Since 1973, Black and Scholes published a seminal article on option pricing, followed by the Cox, Rubinstein, Roth, Sharp et al further proposed the binomial model to solve the American option pricing problems on options pricing theory and applications are constantly evolving and supplements, has now extended to the theoretical problem of pricing financial derivatives.Pricing and hedging of financial derivatives has become one of the hot problems in mathematical finance.In the case of non-risk-neutral, we study the pricing of financial derivatives and hedging strategies by Martingale Method and probability measure approach. Meanwhile this paper further investigated the problem of financial derivatives pricing and hedging strategies in incomplete markets, this problem will be solved with a Hilbert space vector projection on its closed subspace problem, the use of financial derivatives projection theory given decomposition under martingale measure .In incomplete markets, the use of vertical projection theory is the process underlying asset follow martingale approximation of financial derivatives pricing and optimal hedging strategies;further expansion of the projection theory, the mixed portfolio of financial derivatives pricing, the approximate market pricing of financial derivatives;Using the method of variance approximation, the discrete state, the financial derivatives H in incomplete market specific hedging investment strategy .Key Words: Financial derivatives; martingale methods; Martingale measure; hedging ;incomplete markets; projection theory; the variance approach i目 录第1章 绪论11.1 研究背景及研究意义11.2 国内外的研究现状11.3 本文研究的主要内容2第2章 鞅方法基础知识42.1 数学期望与条件期望42.2 鞅及其应用42.3Girsanov定理与鞅表示定理5第3章 金融衍生品定价基本理论73.1 线性衍生品的定价73.2 非线性衍生品在非风险中性意义下的定价83.3 金融衍生品在非风险中性意义下的套期保值11第4章 不完全市场下金融衍生品的定价与套期保值144.1 基本定义与假设154.2金融衍生品的近似定价与最优套期保值策略154.3金融衍生品在混合资产组合下的定价与套期保值174.4方差逼近理论的应用19第5章 结束语22参考文献23谢 辞24III金融衍生品定价与套期保值问题研究第1章 绪论1.1 研究背景及研究意义金融衍生品定价及套期保值问题由来已久，每个投资者每天都面临这样的问题。面对金融市场中大量的不确定性因素，特别是近年来重大国际金融突发事件以及金融变革、政治影响等诸多问题，金融市场波动较大，金融衍生品的定价与套期保值问题越来越受投资者的关注。在近几十年，金融衍生品的定价和套期保值问题，已经成为现代金融理论研究领域的核心内容之一，也是数理金融学研究的热点。无论是在理论上的探讨还是在实际应用上的分析，它都具有重要的社会经济价值和学术科研意义。自1973布莱克和斯科尔斯发表了一篇有关期权定价的开创性文章以来。随着泛函分析、概率论和随机微分等现代数学理论的发展和应用，随着金融市场的发展，数理金融学也不断成熟起来。金融衍生品的定价与套期保值问题也就越发引人关注。而传统的定价与套期保值受限制条件的约束，不能很好的应用在当下这个金融环境领域，因此我们需要对传统的定价与套期保值方法进行拓展，以便能更好的适应当下多变的金融环境。可以将求解金融衍生品的定价与套期保值策略问题转换成希尔伯特空间上的一个向量到其闭子空间的投影问题,对给定鞅测度下的金融衍生品运用投影理论进行分解，在不完全市场条件之下,利用垂直投影理论可以得到标的资产遵循鞅过程的金融衍生品的近似定价与套期保值策略1。1.2 国内外的研究现状对金融衍生品定价与套期保值策略问题的研究是当今世界数理金融学的一大热点问题。数理金融学通过建立金融衍生市场的数学模型，利用数学方法与理论（概率论、随机微分方程和最优化理论）研究金融衍生产品的定价与套期保值策略的选择。数理金融学研究的是金融衍生市场上标的资产的投资与交易，其目的是通过数学方法与理论揭示金融学本质上的特性，并针对具有潜在风险的各类金融衍生品进行合理定价并选择减少风险的套期保值的策略2。金融衍生品的定价是指为了得到在将来某时间（如时刻）支付的金融衍生品而现在应该支付的费用。传统的比较经典的金融衍生品的定价方法有，夏普的资本资产定价模型、罗斯的套利定价模型、Black-Scholes期权定价方法、还有考克斯与罗斯关于风险中性定价的理论，但是这些经典的传统定价模型都必须满足一个基本的市场假设前提：即市场是无套利的完备市场3。但在现实生活中这种完备的金融市场是不存在的理想市场，只存在于理论之中。所有投资者交易的市场大都是不完备的金融市场。哈里森和克雷普斯(1979),哈里森和普利斯卡(1981）介绍了用等价鞅测度来描绘金融市场中的无套利性和完备性，并提出了金融衍生品定价的鞅方法4。这一方法不仅仅只适用于完备市场情况下，而且对不完备市场也是适用的，补充了传统定价理所论存在的缺陷。同时这一方法也证明了当等价鞅的存在时市场是无套利，当等价鞅存在并且是唯一的，此时市场是完备的。如果衍生市场是完备市场，则对任意金融衍生品都有唯一的无套利定价，并且它的定价与该衍生产品在等价鞅测度下期末收益的贴现值的数学期望是相等的。但是在无套利且不完备的市场上，由于存在多个（可能是无穷多个）等价鞅测度，而金融衍生品的贴现价格在每一个等价鞅测度下的数学期望值都等于该金融衍生品的无套利定价，这时为了能够给出合理的定价，需要按照一定的标准在所有等价鞅测度集中选择符合的鞅测度3。本文也是在这一基础上研究金融衍生品定价与套期保值问题的。金融衍生品的套期保值问题，是解决金融衍生品的投资则选择怎么样的策略才能尽可能规避风险，降低未来可能遭受的损失。在完备市场上，任意的金融衍生产品都能够找到完全对冲该金融衍生品风险的确定性的投资组合，达到套期保值的效果。但是在不完备市场上，由于现实的金融市场中存在随机因数的个数大于可用于交易的基础证券个数，从而导致金融衍生品不可能通过现有的基础证券对冲风险，所以在不完备的金融市场上存在着许多金融衍生品无法完全对冲风险，也就是说用市场上已有的基础证券来对冲这些风险仍要承担一定的风险。为了使选择到风险最低的投资组合策略的风险最低（即成本最低），我们必须确定一个最优性准则。目前，最常用的三种选择最优套期保值策略的准则是：一种是Follmer与Sondermann(1986)提出的风险最小准则，一种是由S.D.Hodegs与A.Neuberger(1988)首次提出的效用无差别定价准则，还有一种是Lamberton(1998)与Bouleau首次提出的均值方差最优准则2。我国数理金融学的研究起源于20世纪90年代，近年来，国内已经加大了有关金融衍生品定价问题的研究，虽然起步较晚，但也取得了一定的研究成果。在非风险意义下，俞苗，俞迎达给出了期权定价公式的简化推导过程，但他们的假设前提是股票价格并不满足几何Brown运动的条件，从而使得出的结果产生较大的偏差5；陈广义做了相应的改进，弥补了二者的不足，进一步推导出在风险资产的期望收益率、无风险资产利率、波动率都是常数时的欧式期权的定价公式6。另外，闫海峰、孙宁华等提出了鞅方法定价的理论，虽然国内外在金融衍生品定价和套期保值问题的研究上取得了一些成果，不过还是有不足之处：一是限制条件比较多，和现实操作仍然具有一定的距离；二是考虑市场因素时经常认为其总是在完全市场条件之下，忽略了对现实中存在的非完全市场的考虑。1.3 本文研究的主要内容本文分别在非风险中性定价意义下和不完全市场这两种情况之下研究了金融衍生品的定价与套期保值策略，主体内容可分四章,下面是具体内容:在第1章中主要介绍了金融衍生品定价与套期保值问题的研究背景、研究意义和国内外研究现状，分析了关于衍生品定价及套期保值目前的研究仍存在的问题，提出本文研究的方向。在第2章中分析介绍了有关研究问题的基础知识，介绍了鞅方法的基础知识。为文章接下来的研究过程做好充分的准备。在第3章中，讨论了在非风险中性定价意义下，基于市场上有依赖时间的期望收益率，参数利率，风险波动率，红利率存在的情况下,研究了金融衍生品的定价方法与套期保值的策略。通过期权价格过程的分布情况,利用等价鞅测度与实际概率测度,在没有支付红利情况下,推导出广义的欧式期权定价公式,同时也得到了欧式看涨期权与看跌期权二者之间的平价关系；然后将没有支付红利的金融衍生品定价方法扩展到有支付连续红利的金融衍生品中去。再利用伊藤公式,分别在有支付红利和没有支付红利两种情况下,得到欧式了看涨期权和看跌期权的具体套期保值策略。而这些结果也包含了风险中性定价意义下传统的欧式期权定价公式和套期保值策略。 在第4章中，在不完全市场的情况下，将求解金融衍生品定价与套期保值策略问题转换到以希尔伯特空间上的一个向量到其闭子空间的投影问题,对给定的鞅测度下的金融衍生品运用投影理论进行分解；最后再利用垂直投影理论与方差逼近理论相结合得出在不完全市场条件下,标的资产遵循鞅过程的金融衍生品的近似定价及其套期保值的具体策略。 第5章是结束语。第2章 鞅方法基础知识本文主要是用概率论、泛函分析、随机微分方程、鞅理论等方法来研究金融衍生品的定价及其套期保值问题。因而在本章中，我们首先要分析介绍有关随这方面的基础知识，为第3第4章的定价及套期保值模型打下铺垫。2.1 数学期望与条件期望如果为定义在概率空间上的随机变量，若积分存在,即，则称它为的期望，记为： 期望具有几个良好的性质。在下个定理介绍这些性质之前，我们先来熟悉概率论和测度论中的一个习惯术语。在概率空间上，一个与的元素有关的命题被认为是几乎必然成立的，记为a.s.，或等价地，以概率1成立，记为w.p.1，如果该命题对于可能除一个零测度 以外的所有都成立。如果我们以任意测度来代替，则w.p.1由几乎处处来代替，记为a.e。 现代鞅理论与现代概率论的基础知识是域上的条件期望和条件概率。条件期望是条件概率的一般性推广，拉东-尼柯迪姆定理保证了条件概率和条件期望的存在性。 定义2.17 在可测空间上的两个概率测度，若则一定有，则称关于绝对连续，记为，若且,则称这两个概率测度是等价的。定理2.17 （拉东-尼柯迪姆定理）设为可测空间，,是上的两个概率测度，且，则存在一个非负的随机变量(为可测函数)使得一切有：称随机变量为Q关于P的拉东-尼柯迪姆导数，记为。2.2 鞅及其应用定义2.2 设是定义在同一概率空间上的一个随机变量序列。令为属于F的域。序列称为鞅，如果对于任意的,它满足以下四个条件： 对于条件(4)，表示的鞅性质是指为的一种表示。金融市场的无套利性与完备性可以通过等价鞅测度进行描绘。若等价鞅测度存在并且是唯一的，则此时市场是完备的无套利金融市场，那么市场上任何金融衍生产品，都具有唯一并且合理的价格，金融衍生产品的贴现收益关于等价鞅的数学期望即为该产品的合理价格8。由此可见，鞅方法在解决有关金融衍生产品定价问题上市非常实用的。定理2.2.1 设标的风险资产的价格过程满足广义的布莱克-斯科尔斯模型，即 （2-1） 其中，为定义在概率空间上的标准布朗运动，假设,充分光滑，若要使方程（2-1）有唯一的强解，无风险资产必须满足，,令。若满足则存在唯一的与等价的使标的风险资产的折现价格为-鞅。定理2.2.2 对于一个连续的无套利模型，下列表达的意思是等同的： （1）模型是完备的； （2）鞅测度是唯一的； （3）对于任意-金融衍生品,在0时刻的价格 2.3Girsanov定理与鞅表示定理在连续时间金融学研究的对象中，它们都是连续或右连续随机过程，但是在此之前的研究的变换都是仅限与在随机变量上的有限序列。Girsanov定理确定了在连续随机过程中拉东-尼柯迪姆导数存在的条件，可以把这个定理使用在连续金融的概率测度变换中9。现在说明Girsanov定理产生的背景：设在这一时期有一族信息集，是有限的，在这期间，随机过程的定义如下: (2-2) 在式（2-2）中是可测过程，其中概率分布为的维纳过程为。这里需要满足一个附加条件，的变化不可以“太大”，即： (2-3) 即不可以变化得“太快”，公式（2-3）即为諾维科条件。在时间是连续的条件下，若能够满足諾维科条件，则该函数就是平方可积鞅。应用伊藤积分计算微分： （2-4）简化，得到：设，并对公式（2-4）求其的随机积分，能够得到：上面式子中的第二项满足维纳过程的随机积分。除此之外对适应，也是不会变化“太迅速”的，满足了之前的条件，所以该积分为平方可积鞅。 Girsanov定理可以表述为: （2-5） 如果公式(2-5)定义的随机过程是关于信息集的鞅,那么公式（2-5）中的则是关于信息集和概率测度的维纳过程。 其中,概率测度。 其中是对信息集适应的事件,定义为事件的指标函数. 简单的说,若是维纳过程,用乘随机过程的概率分布即可得到概率为的新的维纳过程1。则这两个过程的关系可以表示为: （2-6） 如果从中扣除对信息集适应的漂移的部分,就能够得到。进行变换的首要条件是是的鞅。 公式（2-6)的经济意义是非常丰富。和都具有零漂移,因而如果进行概率测度变化,则可以用来表示一个动态系统中的不可预知的误差。中含有项,用来代替,其中误差项能够以相同的幅度来减少原有随机微分方程的漂移。如果把作为一个随时间变化的风险收益(溢价),变化将使所有标的风险资产按照无风险利率增长。 鞅方法和概率测度的之间的联系非常的紧密,能够运用概率方法将标的资产价格转变成鞅就是鞅方法的核心原理。这两个概率测度之间的比率,即拉东-尼柯迪姆导数,是变换的基础框架,构造的概率空间中所有概率测度都不能为零,否则比率无意义9。为此对拉东-尼柯迪姆导数的存在条件做了强制性规定：当且仅当时,，即对于任何的零集都是的零集。在金融衍生产品的定价中鞅方法起着非常重要的作用。第3章 金融衍生品定价基本理论以上只是对接下来的分析推导做一些必要的功课，下面我们将对金融衍生品的定价与套期保值问题进行研究。金融衍生产品是由基础性金融资产衍生而来的，是上世纪七、八十年代全球金融创新中非常重要的组成部分。金融衍生品具有套利保值、转嫁风险以及价格发现的功能,金融衍生产品若按照自身产品形态则可以分为远期、期货、期权和互换四大类合约10。如果按照金融衍生品价格和它的标的资产价格之间的关系进行划分，则可以把金融衍生品分为线性衍生产品与非线性衍生产品两大类:线性衍生产品包括了远期合约、期货合约与互换合约，这类衍生产品的价格与其标的资产的价格之间呈线性关系；非线性衍生品则包含期权、结构化衍生证券以及奇异衍生证券，它们的价格和标的资产价格之间是十分复杂的非线性关系10。因线性衍生产品一类结构比较简单，本文只作简单说明，本文主要研究的是非线性衍生产品的定价与套期保值，主要指的是期权的定价与套期保值。3.1 线性衍生品的定价期货合约与远期合约之间拥有相似的性质，二者主要的区别在于期货合约是经过交易所定制发行的，是标准化合约，一般由结算公司统一集中结算，拥有一套独特的结算制度；而远期合约则一般由交易双方在场外进行交易。因此，在国内外许多文献研究记载中，认为期货与远期可以使用相同的定价模型，当同一标的资产的远期和期货合约的到期日相同时，它们的合约价格也是非常相似的。任何金融产品的定价模型都必须有一定的前提假设条件，而远期和期货合约定价模型则包含了以下四个基本假设：（1）没有交易费用，并且交易数量能够被无限细分；（2）所有交易利润的税率相同；（3）所有交易者借入或者贷出资金都按照相同的无风险利率；(4)市场上不存在任何的无风险的套利机会。则定价包含以下三种情况：（1） 标的资产不支付收益的远期合约的定价公式： （2） 证券支付了已知现金收益的远期合约的定价公式：（3） 证券支付了已知红利率的远期合约的定价公式： 互换可以看做是在一系列远期合约的组合起来的，因而关于互换的定价可以通过一系列远期合约价格的组合得到，可以由远期合约的定价推导出互换合约的定价方法。3.2 非线性衍生品在非风险中性意义下的定价 我们假设风险标的资产(股票)的价格过程和无风险资产的价格过程分别满足: （3-1） （3-2）其中表示的是在完备概率空间上的标准布朗运动,是定义在上的函数,能够满足以下条件： （3-3） 3.2.1 不支付中间红利的欧式期权 定理3.1 设满足方程(3-1),(3-2)并且标的风险资产在有效期内没有发放红利,则对于欧式期权,时刻的价格是。 (l)对于欧式看涨期权,在时刻价格为： （3-4） （2)对于欧式看跌期权,在时刻价格为： (3-5) (3)在时刻，欧式看涨与看跌期权二者之间的平价关系可以表示为： （3-6） 其中：其中分别为欧式看涨与看跌期权的定价,表示的是标准正态分布的概率分布函数。 证明:为了便于比较等价鞅测度与实际概率测度之间的区别,将从股票价格过程的等价鞅测度与实际概率测度的角度分别证明公式（3-4）和（3-5）,公式(3-6)可以仿证。公式（3-4）的证明，由鞅方法的性质可知又有等式，在这里可以设再根据公式（3-1）按照随机变量函数的期望公式展开就可得：然后通过变量 作变换就得到以下公式：接下来我们用实际概率测度证明（3-5），由公式（2-1）可得：令,则其概率密度函数为:而在时刻欧式看跌期权价格为： 我们将分为两部分来计算,其中,令,则可得,由此可得：再取：得到： 用相同的方法可以推导出。令变量代换为： 得到： 又因为,所以 3.2.2 支付中间红利的欧式期权假设风险标的资产股票的价格过程满足公式了(3-1),如果在时刻按照瞬时红利率进行红利发放,则在时刻，股票价格由以下两部分组成:其中一部分是不存在风险的，即是可以发放的红利：，另外一部分是包含风险的，即为股票价值的现值，所以定理3.1中风险资产(股票)的现值为,用代替定理3.1中的可以得到如下结论：定理3.2 假设满足方程(3-1),(3-2)且风险资产在有效的时期内时刻以支付红利，则可得欧式看涨期权定价与看跌期权定价以及二者之间的平价关系分别是：（1） 欧式看涨期权，在t时刻的价格为： （3-7）（2） 欧式看跌期权，在t时刻的价格为： （3-8）（3） 欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系为 （3-9） 其中：以上公式中，如果为常数，且时，则该公式即为通常支付红利情况下的Black-Scholes公式。3.3 金融衍生品在非风险中性意义下的套期保值 定义3.3.1 交易策略被称为自融资策略，如果财富过程满足: （3-10） 定理2.3.2对于欧式期权,为了使其满足套期保值，则自融资的策略应该满足以下式子： （3-11)（1） 在不支付红利的欧式看涨期权情况下，自融资参数为： （3-12）而对于欧式看跌期权，它的套期保值的自融资参数分别为： （3-13）（2） 在支付红利情况下的欧式看涨期权的套期保值策略为： （3-14）而在这种情况下对于欧式看跌期权的套期保值策略参数为： （3-15）证明： 因为反映了时刻的贴现价值，根据伊藤公式推导可知：在测度下：在不支付红利的情况下其Girsanov公式为: 在支付红利的情况下其Girsanov公式为: 所以: 又因为在下是鞅测度，所以则:由此可得: （3-16）本章介绍了金融衍生产品在非风险中性意义这一背景下的定价方法以及套期保值策略。通过期权价格过程的分布情况,利用等价鞅测度与实际概率测度,在没有支付红利情况下,推导出广义的欧式期权定价公式,同时也得到了欧式看涨期权与看跌期权二者之间的平价关系；然后将没有支付红利的金融衍生品定价方法扩展到有支付连续红利的金融衍生品中去。再利用伊藤公式,分别在有支付红利和没有支付红利两种情况下,得到欧式了看涨期权和看跌期权的具体套期保值策略。而这些结果也包含了风险中性定价意义下传统的欧式期权定价公式和套期保值策略。这些结论的推导与策略的选择具有重要的现实经济意义,尤其是当标的资产价格波动剧烈时,标的资产的预期收益率与市场上的无风险利率相差悬殊的时候,有着更为广泛的应用经济价值。这些结果对今后进一步扩展研究期权的定价与套期保值问题有很大的帮助。 第4章 不完全市场下金融衍生品的定价与套期保值在不完全市场上,即使价格体系是不存在套利机会的,但因为有多个等价鞅测度,任何一个金融衍生产品可能对应多个定价。为了金融衍生产品的定价能够是唯一的,必须在无套利定价原则的条件上引入其它的定价方法,因而产生了多种不同的近似定价方法11。假设市场上存在个资产,这其中有个是风险资产,另外还有1个是无风险资产。这里可以假设是风险资产的价格过程,是无风险资产,这些都定义在概率空间上，对于-域是适应的,表示截止到时刻能够获得的信息。一个关于资产的动态交易策略可以表示为其中是关于适应的，且是关于可预测的N维过程。对于任意时刻,根据交易策略对应的资产投资组合的价值是，设截止到t时刻通过交易获得的累计收益为，则套期保值策略产生的累计成本是12。由自融资交易的定义可以知道,当套期保值策略的成本过程是常数时,这一交易策略即可称为是自融资的。在不完全市场上,对于不可达的金融衍生品资产,则不存在可以使得套期保值策略价值等于金融衍生资产的价值的自融资策略，即是不存在的。在这种状况之下,一种解决方法是,对于交易策略,保持条件，放弃交易策略为自融资这一前提条件，此时成本过程就不是一个常数而是一个随机过程。现在需要考虑的问题是如何选择一个能够套期保值的最优交易策略，但是对于不同的最优标准，得到的金融衍生品定价方法和套期保值的策略也可能是不同的。Fonmer等在为鞅过程的条件下利用二次期望作为最优标准选择了金融衍生品套期保值的交易策略,使这一等式成立,且此时达到最小,因而可以称这种方法为最小风险投资策略。后来Schweizer将Fonmer的之前研究结论补充推广到了一般半鞅情况下。另一种可能的情况是仍然要求交易策略是自融资的,这样对不可达的金融衍生资产H就不可能找到一个自融资交易策略使,但是可以寻找一个自融资交易策略,使得最为接近。Gourieroux和Reinlander在标的资产的价格满足连续半鞅的条件下，独立地获得上述均值-方差套期保值问题的投资策略。在非完全市场上，本章介绍了利用投影理论转换解决金融衍生产品的定价问题,得到标的资产价格遵循鞅过程的衍生品最优风险套期保值投资策略；同时进一步扩展了投影理论,通过对基于标的资产价格信息的金融衍生产品的定价与套期保值策略问题进一步研究,得到了最优混合交易策略以及该衍生产品的近似定价方法13。4.1 基本定义与假设定义4.1.1 投资策略被称为是自融资策略,则它的价值过程可以分解成常数和关于随机积分的和: (4-1) 定义4.1.2 等价鞅测度概率测度是在上的等价鞅测度，如果并且(贴现)价格过程是-鞅。表示所有与P等价的鞅测度的集合。如果在给定的价格体系中没有套利机会，则定义4.1.314 如果投资策略的价值过程满足(4-1)，则称其为自融资策略。 4.2金融衍生品的近似定价与最优套期保值策略这里要求具有可积性是为了保证是的闭集,并证明它是一个凸集,在中定义内集。由前面的条件可以得到范数，并证明了在该范数下是一个希尔伯特空间，其中为的一个闭子空间，因而对于任意执行期为的金融衍生产品，都可以用的随机变量来表示。同时可以将金融衍生品到的投影看成的近似定价，即在不完全市场下的金融衍生品的近似定价问题可以转化成以下的投影问题进行求解： 下面介绍该问题的求解过程： 引理4.2.115 对于给定的价格体系,其中是无风险资产，其价格恒等于1，是风险资产，它的价格过程是一个连续半鞅的过程，对任意的，执行期为的金融衍生品可以唯一分解为： （4-2）其中：（1） 是平方可积鞅，且对任意的，有和；（2） 是自融资策略。 下面通过引理4.2.1来解决优化问题: (4-3)情况1 当即自身本来就是鞅测度，通过引理4.2.1可知，令则对任意有：显然，当时，即可得到上面的优化问题的最小目标值，得到：情况2当时，需要将这种情况转化为情形1进行求解，步骤如下：首先需要对原价格体系进行单位变换和测度变换，使得经过变换后的价格体系是鞅测度，达到以上条件即可利用情况1的方法进行解答。当时，优化问题(4.3)式可以转化为：其中：，由于现有的假设条件，是一个凸闭集，所以有一个，使得是上面优化问题的最小解，定义测度： 则为原来的价格体系的等价鞅测度：，而且可以使方差得到最小的等价鞅测度，对所有的均成立。假设是一种新资产加到原资产集合中，原有的价格体系变成,然后以当作货币基本单位对价格体系进行变换，则由此可得紧缩后的价格体系。由于新资产可以通过原有的资产完全复制得到，所以扩展后的资产集合及其价格体系不改变金融衍生品资产的集合，对于任意的，则存在一个自融资交易策略,使得,其中：定义新的测度：则是紧缩后的价格体系的等价鞅测度，由此可得:再根据情况1得出的结论可以知道，此时金融衍生品的最优套期保值的初始成本为：4.3金融衍生品在混合资产组合下的定价与套期保值假设市场不仅包含了个风险资产和一个无风险资产(恒等于1）,还包含了个执行期为的金融衍生品,且在0时刻,。同时这些金融衍生品还满足以下条件：(l)金融衍生品是不可达的；(2) 若是引理4.3.1在测度下进行垂直分解得到的,即，则有存在；(3) 通过观察可以知道金融衍生品价格是“公允”的，即一定会有一个等价鞅测度，使得。定义4.3.116 测度被称为可容许的等价鞅测度，如果它同时满足和上述条件（3），所有可容许的等价鞅测度可表示成：显然由上面的定义可以知道。当金融衍生品出现在市场上后，投资者仍可以使用市场上的基本资产来制造待定价金融衍生品的套期保值的资产组合,同时也可以在套期保值资产组合中包含这些新出现的金融衍生品种,此时得到的资产组合被称为混合资产组合。如果资产的自融资交易策略为，为0时刻持有的金融衍生品的份额，则使用混合交易策略在时刻资产组合的价值为： 上式说明了在0时刻的初始组合成本中,金融衍生产品的投资为,资产的投资为，到了时刻T,为资产组合的价值。混合交易策略是由自融资交易策略扩展而成的,利用混合交易策略来制造金融衍生品的的未来损益,一定能够扩大可达金融衍生品的范围,拓展后的可达金融衍生产品的集合记为。由之前的假设可以知道，且其为闭集，则可将垂直投影理论推广到混合交易策略中的金融衍生品的近似定价。引理4.3.2 若，则由引理4.2.1对金融衍生品进行分解，可以知道为误差项，令。则对于任意执行期为的金融衍生品可以唯一分解成： (1) ,对，有，即(2) 是一个混合交易策略，即引理4.3.3 如果引理4.3.1中的等价鞅测度不是可容许的，即，则对任意执行期为的金融衍生品可以唯一分解成： 其中：（1） ，对，有，即（2） 是一个混合交易策略，即 在一个给定的价格体系和金融衍生品的定价信息条件下,则对于任意执行期为的金融衍生产品,能够寻找到一个混合交易策略,使得在均方意义上,混合资产组合在时刻时与最为接近,则在没有套利机会的前提下,混合资产组合在0时刻的初始资本就能够被近似作为金融衍生品的定价,混合交易策略的求解可以通过求解以下优化问题得到： （4-4） 下面分3种情况求解优化问题(4-4),公式（4-4）可以改写成 情况1 当即为可容许鞅测度时，利用引理4.3.2，令则对任意因而对可以得到：由上式可得，当时，可以得到上式的最小值，即目标值达到最小，得到： 情况2当时，即是鞅测度但为不可可容许的，再通过引理4.3.2能够得到 ,其中： 由此可得对任意,可以得到：由上式可以知道，当，能够使优化问题的目标值达到最小，此时有：由此达到最优混合交易策略是：这一混合交易策略的初始成本，当市场是无套利时即可作为金融衍生品的近似定价。情况3如果时，即不是鞅测度，但对于是满足半鞅情形的，可以采用模仿情况2的做法，首先求解优化问题: 得到最优资产组合。重新定义新的测度: 其中为为紧缩后的价格体系的等价鞅测度，由此可以推出： 上式中： 因而当时，优化问题能够转化为： 这样可以让情况3求解的问题转化成求解问情况2，利用情况2推导出来的结论可以得到：金融衍生品的最优混合策略的初始成本计算为： 其中：这时则可以看成为金融衍生品的近似定价。4.4方差逼近理论的应用在这一章前两节的讨论中,能够得到金融衍生品的近似定价都是建立在套期保值交易策略存在的前提下进行的,而在现实的金融市场上，仅仅只知道套期保值交易策略存在是远远不够的,还必须需要知道详细的套期保值交易策略,这样可以更好的根据市场的变化作出准确的套期保值投资策略,下面研究在离散状态下,利用方差逼近理论找到不完全市场上金融衍生品的套期保值的最优的投资策略17。定义4.4.1 假设和为在概率空间内的2阶随机变量,假定之间是线性无关，求使得： 其中表示期望，上面的X称为Y的方差逼近或均方逼近。所要求的