2018_2019学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算教案（含解析）北师大版.docx

2复数的四则运算复数的加法与减法已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.问题2：类比向量的加法，复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足1加(减)法法则设abi与cdi(a，b，c，dR)是任意复数，则：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.2运算律对任意的z1，z2，z3C，有z1z2z2z1(交换律)；(z1z2)z3z1(z2z3)(结合律).复数的乘法问题1：复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似两多项式相乘？提示：类似问题2：复数的乘法是否满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律？提示：满足问题3：试举例验证复数乘法的交换律提示：若z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i，z2z1(cdi)(abi)(acbd)(bcad)i.故z1z2z2z1.复数的乘法(1)定义：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)运算律：对任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3复数的乘方：任意复数z，z1，z2和正整数m，n，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzz.共轭复数观察下列三组复数：(1)z12i；z22i；(2)z134i；z234i；(3)z14i；z24i.问题1：每组复数中的z1与z2有什么关系？提示：实部相等，虚部互为相反数问题2：试计算每组中的z1z2，你发现了什么规律吗？提示：z1与z2的积等于z1的实部与虚部的平方和共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作共轭复数复数z的共轭复数用来表示，也就是当zabi时，abi.于是za2b2|z|2.复数的除法我们知道实数的除法是乘法的逆运算，类似地，复数的除法也是复数乘法的逆运算，给出两个复数abi，cdi(cdi0)若(cdi)(xyi)abi，则xyi叫作复数abi除以cdi的商问题1：根据乘法运算法则和复数相等的概念，请用a，b，c，d表示出x，y.提示：由(cdi)(xyi)abi得xcyd(xdyc)iabi.即问题2：运用上述方法求两个复数的商非常繁琐，有更简便的方法求两个复数的商吗？提示：可以用分母的共轭复数同乘分子与分母后，再进行运算复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i(cdi0)1复数的加法、减法和乘法与多项式的加法、减法和乘法相类似，但应注意在乘法中必须把i2换成1，再把实部、虚部分别合并2复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)复数的加减运算例1计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR)思路点拨利用复数加、减运算的法则计算精解详析(1)(12i)(34i)(56i)(42i)(56i)18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.一点通复数加、减运算的方法技巧：(1)复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项1计算：(1i)(2i)(32i)解：(1i)(2i)(32i)1()i(32i)4(2)i.2若(310i)y(2i)x19i，求实数x，y的值解：原式化为3y10yi(2xxi)19i.即(3y2x)(x10y)i19i.复数的乘除运算例2计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i；(3)(23i)(12i)i5；(4)2.思路点拨按照复数的乘法与除法运算法则进行计算精解详析(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.(3)原式i5(i2)2iii.(4)21817.一点通(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式的乘法法则进行，注意把i2化成1，进行最后结果的化简；复数的除法先写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行化简(2)im(mN)具有周期性，且最小正周期为4，则：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN)3化简的结果是()A2iB2iC2i D2i解析：选C2i.4已知i为虚数单位，则复数的模等于()A. B. C. D.解析：选D因为i，所以，故选D.5计算：(1)(i)3；(2).解：(1)(i)3i3i8ii8i.(2)22i.共轭复数例3已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.思路点拨利用共轭复数的性质求解精解详析设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.一点通已知关于z和的方程，求z的问题，解题的常规思路为设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解6已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2的值为()A54i B54iC34i D34i解析：选D根据已知得a2，b1，所以(abi)2(2i)234i.7已知aR，i是虚数单位若za i，z4，则a等于()A1或1 B.或C D.解析：选A法一：由题意可知ai，z(ai)(ai)a234，故a1或1.法二：z|z|2a234，故a1或1.1复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致，即先算平方，再算乘除，最后算加减，同时要注重复数运算中的独特技巧，如：(1i)22i，i，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)等，在解题中可使运算简化2解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常用下列结论简化解题过程z|z|2|2；zRz；z0，z为纯虚数z.1(12i)的值为()A2iB22iC22i D2解析：选B原式i22i.2已知i是虚数单位，若复数z满足zi1i，则z2等于()A2i B2iC2 D2解析：选Azi1i，z11i，z2(1i)21i22i2i. 3复数的共轭复数是()Ai B.iCi Di解析：选C依题意i，其共轭复数为i，选C.4(1i)20(1i)20的值是()A1 024 B1 024C0 D512解析：选C(1i)20(1i)20(1i)210(1i)210(2i)10(2i)10(2i)10(2i)100.5若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是_解析：因为z(1i)(ai)a1(1a)i，所以它在复平面内对应的点为(a1,1a)又因为此点在第二象限，所以解得a1.答案：(，1)6若复数z，则|3i|_.解析：z1i，1i.|3i|12i|.答案：7计算(1)(i)2(45i)；(2).解：(1)(i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i)2016i.(2)1i.8已知复数z3bi(bR)，且(13i)z为纯虚数(1)求复数z；(2)若w，求复数w的模|w|.解：(1)因为 z3bi，所以(13i)z(13i)(3bi)3(1b)(9b)i.因为(13i)z为纯虚数，所以解得b1.所以z3i.(2)因为 z3i，所以wi，所以|w|.9已知复数z满足(z2)iai(aR)(1)求复数z；(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限？解：(1)由已知得z21ai，z3ai.(2)由(1)得z29a26ai，复数z2对应的点在第一象限，解得3a0.即当3a0时，复数z2对应的点在第一象限一、复数的基本概念1复数abi2复数的相等两个复数z1abi(a，bR)，z2cdi(c，dR)，当且仅当ac且bd时，z1z2.特别地，当且仅当ab0时，abi0.3复数是实数的充要条件(1)zabi(a，bR)Rb0；(2)zRz；(3)zRz20.4复数是纯虚数的充要条件(1)zabi(a，bR)是纯虚数a0，且b0；(2)z是纯虚数z0(z0)；(3)z是纯虚数