2018_2019学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法教案（含解析）北师大版.docx

3综合法与分析法综合法阅读下面的例题例：若实数a，b满足ab2，证明：2a2b4.证明：因为ab2，所以2a2b2224，故2a2b4成立问题1：本题利用了什么公式？提示：基本不等式问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论综合法(1)含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”(3)模式：综合法可以用以下的框图表示：其中P为条件，Q为结论.分析法你们看过侦探小说福尔摩斯探案集吗？福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据问题1：福尔摩斯的推理如何入手？提示：从结论成立入手问题2：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件问题3：这种分析问题方法在数学问题的证明中可以借鉴吗？提示：可以分析法(1)含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等这种证明问题的思维方法称为分析法(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：1综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件它的证明格式为：因为，所以，所以所以成立2分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件它的证明格式：要证，只需证，只需证因为成立，所以成立综合法的应用例1已知a，b是正数，且ab1，求证：4.思路点拨由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论精解详析法一：a，b为正数，且ab1，ab2，4.法二：a，b为正数，ab20，20，(ab)4，又ab1，4.法三：a，b为正数，1122 4，当且仅当ab时，取“”号一点通综合法的解题步骤1在ABC中，证明BC.证明：在ABC中，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0，因为BC0时，求证： (ab)思路点拨条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式精解详析要证 (ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.因为a2b22ab对一切实数恒成立，所以(ab)成立一点通分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成立的充分条件它是从求证的结论出发，逆向分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是“要证，只需证”3求证：.证明：欲证不等式成立，只需证326425成立，即证成立，即证1820成立由于1820成立，故0.只需证2(xy)122，即证.x，y，当且仅当xy时，等号成立，成立(xy)2(xy)xy.6证明函数f(x)log2(x)是奇函数证明：|x|，x0恒成立，f(x)log2(x)的定义域为R，要证函数ylog2(x)是奇函数，只需证f(x)f(x)，只需证log2(x)log2(x)0，只需证log2(x)(x)0，(x)(x)x21x21，而log210.上式成立故函数f(x)log2(x)是奇函数分析法与综合法的优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是间接证明法；分析法是逆推法其中正确的说法有()A2个B3个C4个 D5个解析：选C由分析法、综合法的定义知正确. 22平面内有四边形ABCD和点O，则四边形ABCD为()A菱形 B梯形C矩形 D平行四边形解析：选D，.四边形ABCD为平行四边形3已知a0，b0，且ab2，则()Aa BabCa2b22 Da2b23解析：选Cab22，ab1.a2b242ab，a2b22.4用分析法证明命题“已知ab1.求证：a2b22a4b30.”最后要具备的等式为()Aab Bab1Cab3 Dab1解析：选D要证a2b22a4b30，即证a22a1b24b4，即(a1)2(b2)2，即证|a1|b2|，即证a1b2或a1b2，故ab1或ab3，而ab1为已知条件，也是使等式成立的充分条件5将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立答案：a2b22ab0(ab)20(ab)206设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：abc0，ab0，c(ab)|c|2(ab)21b2.由(ab)c0，(ab)(ab)|a|2|b|20.|a|2|b|21.|a|2|b|2|c|24.答案：47求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大证明：设圆和正方形的周长为L，则圆的面积为2，正方形的面积为2，则本题即证22.要证22，只需证，只需证，即证4.因为4显然成立，所以22.故原命题成立8求证：7.证明：因为x23x420，所以要证7，只需证x23x47(x23x4)，只需证x24x40.因为x24x4(x2)20成立，所以7成立9设