2018_2019学年高中数学第二章平面向量章末小结与测评教案（含解析）新人教A版.docx

第二章 平面向量考点一平面向量的线性运算1平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即；向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和加法满足交换律、结合律(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量注意两向量要移至共起点(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换2向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法特别地，平面内一点P位于直线AB上的条件是存在实数x，使x ，或对直线外任意一点O，有xy (xy1)(2)平面向量基本定理：如果向量e1，e2不共线，那么对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1，2，使a1e12e2.其中e1，e2是平面的一组基底，e1，e2分别称为基向量由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底典例1如图，梯形ABCD中，ABCD，点M、N分别是DA、BC的中点，且k，设e1，e2，以e1、e2为基底表示向量、.解：e2，且k，k ke2.0，e1(k1)e2.又0，且，e2.对点训练1.如图，在ABC中， ，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和；(2)如果，求实数和的值；(3)确定点P在边BC上的位置解：(1)由，可得，又 ，所以 .(2)将， ，代入，则有，即(1) (1) .所以解得(3)设m，n.由(2)，知 ，所以nn mmm ，所以解得所以，即2，P是边BC上靠近C的三等分点考点二平面向量的坐标运算若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)；ab(a1b1，a2b2)；a(a1，a2)；aba1b1a2b2；aba1b1，a2b2(R)，或(b10，b20)；aba1b1a2b20；|a|；若为a与b的夹角，则cos .典例2(1)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A. B. C. D.(2)已知向量a(1，m)，b(m,2), 若ab, 则实数m等于()A B. C或 D0(3)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D解析：(1)由已知，得(3，4)，所以| |5，因此与同方向的单位向量是 .(2)ab的充要条件的坐标表示为12m20，m，选C.(3) (2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影为| |cos，| |，故选A.答案：(1)A(2)C(3)A对点训练2(1)若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三点共线，则y()A13 B13 C9 D9(2)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为()A30 B60 C120 D150解析：(1) (8,8)，(3，y6)，8(y6)240.y9.(2)ab10，则(cb)acabaca10，所以ca，设a与c的夹角为，则cos ，又0，180，所以120.答案：(1)D(2)C考点三平面向量的数量积1两向量的数量积及其运算律两个向量的数量积是ab|a|b|cos ，为a与b的夹角，数量积满足运算律：与数乘的结合律，即(a)b(ab)；交换律，即abba；分配律，即(ab)cacbc.2平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征3利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等典例3已知cmanb，c(2，2)，ac，b与c的夹角为，bc4，|a|2，求实数m，n的值及a与b的夹角.解：c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos |b|44，|b|2.cmanb，c2macnbc.16n(4)n4.在cmanb两边同乘以a，得08m4ab.在cmanb两边同乘以b，得mab12.由，得m.ab2.cos .或.对点训练3(1)已知单位向量a，b的夹角为，则|a2b|_.(2)已知e为单位向量，|a|4，a与e的夹角，则a在e方向上的投影为_(3)已知在ABC中，A，AB2，AC4， ，则的值为_解析：(1)单位向量a，b的夹角为，|a2b|2a24ab4b21411cos 41243，|a2b|.(2)因为a在e方向上的投影为|a|cos ，|a|4，a与e的夹角为，所以|a|cos 4cos 42.(3)因为在ABC中