高二数学名师一号.ppt

3.2.3 空间角与距离的向量方法,自 学 导 引 (学生用书P84) 通过本节的学习掌握直线和平面所成的角的概念,二面角的有关概念,并能求直线与直线所成的角,直线与平面所成的角及二面角的大小.了解空间距离的有关概念及简单运算.,课 前 热 身 (学生用书P84) 1.空间角 (1)两条异面直线所成的角的范围是_,其大小可以通过这两条异面直线的_的夹角来求.若设两条异面直线所成的角为,它们的方向向量的夹角为,则有_.,方向向量,cos=|cos|,(2)直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是_,直线和平面所成的角为,直线的方向向量与平面的法向量的夹角为,则有_. (3)二面角的大小就是指二面角的平面角的大小,其范围是_,二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通过两个平面的法向量的_求得.,sin=|cos|,0,夹角,2.空间距离 (1)空间中两点间的距离公式:若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,y2),则|P1P2|=_. (2)点面距离的求法: 如图,设n是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,则点 B到平面的距离d=_.,名 师 讲 解 (学生用书P84) 1.空间角公式 (1)异面直线所成角公式: 设a,b分别是异面直线l1、l2上的方向向量,为异面直线所成的角,则有cos=|cos|=,(2)线面角公式:设l为平面的斜线,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为l与成的角,则有sin=|cos|= (3)二面角公式:设n1,n2分别为平面、的法向量.二面角为,则=或=-(根据具体情况判断相等或互补). 其中cos,2.空间距离 (1)点面距离公式:P为平面 外一点,过点P的斜线交于A,设n为平面的法向量,d为P到的距离,则有 (2)线面距离、面面距离都可以转化为点面距离.,典 例 剖 析 (学生用书P84) 题型一 直线与平面所成的角,例1:正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 分析:建立适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,利用AC1与其在面ABB1A1内的射影所成的角来求或利用面ABB1A1的法向量来求.,规律技巧:充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量有关知识求解线面角.方法2给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线夹角,再进行转化.,变式训练1:如图所示,ABCD是直角梯形,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=. 求:SC与平面ABCD所成角的正弦值.,题型二 二面角的求法 例2:在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. 分析:可建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,通过法向量的夹角进行求解.,变式训练2:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1、A1C1的中点.求: (1)异面直线AE与CF所成角的余弦值; (2)二面角C-AE-F的余弦值的大小.,题型三 空间距离问题 例3:如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点. (1)求异面直线AB与MD所成角的大小; (2)求点B到平面OCD的距离.,分析:解答本题可先利用图形条件建立坐标系,再利用 所成角求异面直线所成角,利用公式求点面距.,解:作APCD于点P.如图所示,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(1,0,0),变式训练3:已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,CG垂直于ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离.,技 能 演 练 (学生用书P86) 基础强化,答案:B,答案:B,3.平面与平面交于l,自一点P分别向两个面引垂线,垂足分别为A、B,则APB与、夹角的大小关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定 解析:当点P在平面、夹角的内部时,APB与平面、夹角互补;当点P在平面、夹角的外部时,APB与平面、的夹角相等. 答案:C,答案:A,答案:C,6.ABC的边BC在平面内,顶点A,ABC边BC上的高与平面所夹的角为,ABC的面积为S,则ABC在平面上的投影图形面积为_. 答案:Scos 解析:ABC在平面内的投影三角形为ABC,它的高AD=ADcos(AD为ABC的高),SABC=BCAD=BCADcos=Scos.,7.给出四个命题: 若l1l2,则l1、l2与平面所成的角相等; 若l1、l2与平面所成的角相等,则l1l2; l1与平面所成的角为30,l2l1,则l2与平面所成的角为60; 两条异面直线与同一平面所成的角不会相等. 以上命题正确的是_. 答案: 解析:正确.不正确,l1与l2不一定平行.不正确,l2与平面所成角不确定.不正确,有可能相等.,能力提升 8.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点. 求直线AE与平面A1ED1所成的角的大小.,解:以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立如下图所示的空间直角坐标系.,品味高考 9.(2008福建,6)如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( ),答案:D,解析:建立坐标系如图所示,10.(2009天津)如图,在五面体ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD. (1)求异面直线BF与DE所成角的