几何与代数》科学出版社第六章二次型与二次曲面.ppt

,几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第六章 二次型与二次曲面,球面、旋转曲面、柱面、锥面,A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0,x2 + y2 = 2pz,x2 + y2 = k2 z2,y2 = 2px,球面:,旋转曲面,r=3,r=2,柱面,r=2,r=1,锥面：,一直线过定点沿一条定曲线移动所产生的曲面,6.3 二次曲面,一. 二次曲面的标准方程,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,1. 椭球面,b,c,当a = b = c = R时半径为R的球面,当a, b, c中有两个相等时旋转椭球面,x = 0,y = 0,z = 0,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,2. 单叶双曲面,x = 0,y = 0,z = 0,当a, b相等时旋转单叶双曲面,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,3. 双叶双曲面,x = 0,y = 0,z = 0,当a, b相等时旋转双叶双曲面,无交,z = k, |k|c,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,4. 二次锥面,x = 0,y = 0,z = 0,当a, b相等时圆锥面,z = k,(0,0,0),6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,5. 椭圆抛物面,x = 0,y = 0,z = 0,当a, b相等时旋转抛物面,(0,0,0),z = k0,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,6. 双曲抛物面,(a0, b0),(马鞍面),y2 = 2b2z,x = 0,y = 0,z = 0,x2 =2a2z,当a, b相等时也不是旋转曲面,z = k,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,7. 椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面 x2 = 2py (p 0),6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,二. 一般方程表示的二次曲面,a11x2 + a22y2 + a33z2,+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz,+ b1x + b2y + b3z + c = 0,一般方程,二次型,xTAx,+ + c = 0,BTx,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0,x = Qy,作直角系的旋转变换,作坐标轴的平移,g(y) = yTy + BTy + c = 0,y = z+,1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d,Q正交,二. 一般方程表示的二次曲面,即1y12 +2y22 +3y32 + b1y1 + b2y2 + b3y3 + c = 0,标准方程,Q正交且|Q|=1 右手系右手系,p=3,q=0,r(g)=3, b=0,椭球面,球面,p=2, q=1,d0,p=0,q=3,d0,单叶双曲面,d0,d0,双叶双曲面,d=0,二次锥面,r(g)=2, b0,d=0,p=2, q=0,椭圆抛物面,p=1, q=1,双曲抛物面,r(g)=2, b=0,d0,p=2, q=0,椭圆柱面,p=1, q=1,双曲柱面,r(g)=1,d=0,p=1, q=0,p=0, q=1,抛物柱面,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,例1. 请指出曲面z = xy的类型.,其中|Q| = 1.,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,可见原方程表示一个双曲抛物面.,则原方程化为 x2 y2 = 2z,x y z,令,=,0,0,0 0 1,x y z,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,f(x1, x2, x3) = 2x12+x22+x32+2x1x2+kx2x3 = 1,例2. 求k的值使下面的方程表示一个椭球面.,上述方程表示一个椭球面 A正定,而1 = 2 0,3 = |A| = 1k2/2.,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,x2+y2+z22xz+4x+2y4z5 = 0,例3. 试用直角坐标变换化简下面的方程.,|Q| = 1.,这表示一个椭圆柱面.,则原方程化为,令,再配方可得,第六章 二次型与二次曲面,6.3 二次曲面,可得x2 + 2z2 = 10,所作的直角坐标变换公式为,6.3 二次曲面,第六章 二次型与二次曲面,例4.试用直角坐标变换化简 x2 + y + z 2 = 0.,则原方程化为 x2 + 2(y 1) = 0.,再作平移变