函数2-2函数的单调性与最值.ppt

重点难点 重点：函数单调性的定义 函数的最大(小)值 难点：函数单调性的证明 求复合函数单调区间 知识归纳 一、单调性定义 1单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间DI，若对于任意的x1，x2D，当x1f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数,2证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明 (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： 任取x1、x2D，且x10，则f(x)在区间D内为增函数；如果f (x)0，则f(x)在区间D内为减函数,二、单调性的有关结论 1若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)仍为增(减)函数 3互为反函数的两个函数有相同的单调性 4yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为减函数 5奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,三、函数单调性的应用有： (1)比较函数值或自变量值的大小 (2)求某些函数的值域或最值 (3)解证不等式 (4)作函数图象 四、函数的最大(小)值： 1定义：一般地，设函数yf(x)定义域为，如果存在实数M满足： (1)对任意x，都有f(x)M(或f(x)M)； (2)存在x0使得f(x0)M. 称M是函数yf(x)的最大(或最小)值 2求法： (1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法,误区警示 1对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点 (1)函数的单调性是对某一个区间而言的f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在AB上不一定单调 (2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替 (3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(或减)函数，则f(x1)x2) 2在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域,一、利用复合函数的单调性解题 对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，那么函数yfg(x)在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.,证明：函数f(x)在(1，)上为增函数 分析：证明函数的单调性可以用定义证明，也可以用导数证明本例证明f(x)在(1，)上单调递增，用导数证，只须证明f (x)0在(1，)上恒成立，用定义证，由于f(x)有两个不同类型的项，作差后可分别处理讨论符号,证明：方法1：任取x1、x2(1，)， 不妨设x10，ax2x11且ax10， ax2ax1ax1(ax2x11)0， 又x110，x210，,答案：C,答案：(1,1),Abac Bcba Cbca Dabc,答案：A,答案：A,(1)若a0，则f(x)的定义域是_； (2)若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_,(2)首先0a1时，a10,3ax为减函数， f(x)在其定义域上为增函数， 其次a0时，a10,3ax为增函数， f(x)在其定义域上为减函数，,(1)判断并证明f(x)在R上的单调性； (2)求f(x)在3,3上的最值 解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数 证明如下： 令xy0，f(0)0，令yx可得： f(x)f(x)，,在R上任取x1、x2且x10， f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1) 又x0时，f(x)0， f(x2x1)0，即f(x2)f(x1) 由定义可知f(x)在R上为单调递减函数 (2)f(x)在R上是减函数， f(x)在3,3上也是减函数f(3)最大，f(3)最小 f(3)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1),(理)定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，bR，有f(ab)f(a)f(b) (1)证明：f(0)1； (2)证明：对任意的xR，恒有f(x)0； (3)证明：f(x)是R上的增函数； (4)若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围 解析：(1)证明：令ab0，则f(0)f 2(0)又 f(0)0，f(0)1. (2)证明：当x0时，x0， f(0)f(x)f(x)1.,xR时，恒有f(x)0. (3)证明：设x1x2，则x2x10. f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1) x2x10，f(x2x1)1 又f(x1)0，f(x2x1)f(x1)f(x1) f(x2)f(x1)，f(x)是R上的增函数 (4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是R上的增函数， 3xx20，0x3.,(2)赋值法是解决抽象函数问题的有效方法，由所给函数关系式在某个范围内恒成立，结合条件和待求问题，恰当赋值是关键一步,(09陕西)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1)0，则当nN*时，有( ) Af(n)f(n1)f(n1) Bf(n1)f(n)f(n1) Cf(n1)f(n)f(n1) Df(n1)f(n1)f(n),解析：由(x2x1)(f(x2)f(x1)0得f(x)在(，0上为增函数 又f(x)为偶函数，所以f(x)在0，)上为减函数 又f(n)f(n)且0n1nn1， f(n1)f(n)f(n1)， 即f(n1)f(n)f(n1)故选C. 答案：C,例6 (2010南充市模拟)函数f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( ) 解析：a1时，f(x)在0,1上为增函数，最小值f(0)，最大值f(1)； 0a1时，f(x)在0,1上为减函数，最小值f(1)，最大值f(0)， 据题设有：f(0)f(1)a，,答案：B,答案：1m3,由f (x)0得，x1. 因为当x1时，f (x)0；所以f(x)的单调增区间是1，)；单调减区间是(，0)和(0,1,(2010安徽)设函数f(x)sinxcosxx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值,答案 A,答案 B,答案 B,4(文)(09福建)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( ) Ayx21 By|x|1 答案 C 解析 f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(2,0)上为减函数，而yx31在(2,0)上为增函数故选C.,(理)(09山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( ) Af(25)0，,f(x)在2,0上也是增函数，且f(x)0，且f(x)为减函数 同理，f(x)在4,6上为减函数，且f(x)0，f(80)f(0)0，f(25)f(80)f(11)故选D.,1(2010日照一中)已知函数f(x)x28lnx，g(x)x214x. (1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a1)上均为增函数，求a的取值范围； (3)若方程f(x)g(x)m有唯一解，试求实数m的值,又x0，所以当x2时，f (x)0； 当0x2时，f (x)0. 即f(x)在(2，)上单调递增，在(0,2)上单调递减 又g(x)(x7)249，所以