函数、极限和连续(2).ppt

1,(二) 极限,一、数列极限 二、函数的极限的概念 三、函数的极限的的性质 四、极限的运算法则 五、复合函数的极限 六、两个重要极限,2,（二）极限 1知识范围 （1）数列极限的概念 数列 数列极限的定义 （2）数列极限的性质 唯一性 有界性 四则运算法则 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理 （3）函数极限的概念 函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义 （4）函数极限的性质 唯一性 四则运算法则 夹通定理 （5）无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶的比较 （6）两个重要极限,3,2要求 （1）理解极限的概念（对极限定义中“N”、“M”、“”等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （2）了解极限有关性质，掌握极限四则运算法则。 （3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 （4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。,4,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,一、数列的极限 1、概念的引入,S=,5,6,截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,7,例如,2、数列的定义,8,n=19,n=32,n=42,n=50,9,随着n的增加，1/n会越来越小。,10,几何解释:,则称a为数列Xn的极限，称数列Xn收敛，否则数列Xn发散。,11,1）.有界性,3、 收敛数列的性质,2）唯一性,定理 每个收敛的数列只有一个极限. 3）若数列Xn收敛则它的每个子列也收敛。,数列Xn收敛则,12,发散数列判别法: 1. 无界数列必定发散. 2. 一子列发散,则数列发散. 3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.,例:,证,13,1） 单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,4、数列收敛判别准则,14,例1：设,(n=1,2,)，,证 由,及,知,设对某正整数k有,则有,故由归纳法，对一切正整数n，都有,即,为单调减少数列，且,试证数列 极限存在，并求此极限。,解得,所以,15,例2,证,(舍去),16,2） 夹逼准则,17,例1,解,由夹逼定理,18,例3：求,解：,由夹挤定理,19,例题,20,二、函数的极限 1、自变量趋向无穷大时函数的极限,21,22,23,另两种情形:,描述性定义：,24,几何解释:,25,例1,证,26,几何解释:,描述性定义：,2、自变量趋向有限值时函数的极限,27,例,证,函数在点x=1处没有定义.,28,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,29,左右极限存在但不相等,例,证,30,三、函数极限的性质,1.有界性,2.唯一性,31,定理(保号性),推论,32,小结,函数极限的统一定义,33,四、函数极限运算法则,定理 若,均存在，则,1),2),（k为常数）,3) 当,时，,34,例1,解,35,解,例2,36,解,例3,(消去零因子法),37,解：原式,例5（02四1） 求,解: 原式,例4 : 求,38,例6,（a00，b00，m,n0).,解： 1）m=n, 原式,2）mn, 原式,3）mn，原式=.,39,例7,解,(无穷小因子分出法),40,41,例,42,(1),五、两个重要极限,43,44,例,解,45,D B,重要极限的几何意义： =,例5:求下列极限 (1) (3) (4) (6),D, B,46,证明: nBOB面积n扇形BOB面积nD OD面积分 AnABn,例 6 证明半径为R的圆面积为R2 O,D B,D, B,47,解： 设 u=arcsinx x0时u0,例,例,48,例5 求,解 原式,49,50,(2),51,例(0406),解,例(9602),解,52,例,例,53,例,54,例4,解,例5,解,55,例7 求,解：原式,例6 求,解：原式,56,六、复合函数极限运算法则,定理,设函数y=f(u)及u=(x)构成复合函数y= f (x), 在x0某个去心邻域, 若 且(x) l , 则复合函数y= f (x)在 xx0时 的极限为,57,说明:,又称变量代换法,1.,2. 幂指函数的极限运算,证明:,58,59,例8,60,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,七、无穷小,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,61,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,62,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,63,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,64,不是无穷大,无界，,65,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,66,解,例,67,在下列变量中是无穷大量的是（ ）,C,68,填空:,69,证：,这说明,在 上无界,而,取,又当,而,这说明 不是无穷大量,例,但当 时,证明函数,在 上无界，,这函数也不是无穷大,70,无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,71,定义:,72,例,解,例,解,73,例,解,74,常用等价无穷小:,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,例如,75,例当 x时f(x)与1/x 是等价无穷小，则,例,例：下列表达中（ ）是正确的：,76,等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,77,例14,解,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,78,例15,解,解,错,79,例16,80,例17,81,例18,例16,82,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,唯一性,两者的 关系,无穷大,83,定理,推论1,推论2,极限的性质,84,求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,85,判定极限存在的准则,(夹逼准则),86,(1),(2),两个重要极限,87,1.利用极限的基本性质和运算法则,例1,88,例2,例3,2. 利用两个重要极限,89,例4,例5,原式=,90,3.利用适当的函数变换,例9,91,例10(02二3),92,例11,已知,求,因为,所以,即,93,4.利用极限存在准则,例12 设,求,其中,解,又,单调减少,且有下界,有极限,94,设极限为 ,即,95,例：,96,例13 设,证明数列,有极限并求：,证明 因为,且,所以显然有,即,有界,97,由于,不妨设,成立，,下面利用归纳法证明单调性,98,故,所以,单调增加.所以,有极限.,设,则,99,5.等价无穷小:,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,例如,100,例当 x时f(x)与1/x 是等价无穷小，则,例,例：下列表达中（ ）是正确的：,101,例,解,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,102,例16,103,例17,104,例,例,例,105,练 习 题,106,107,108,练习题答案,109,110,6.左右极限,例19,111,例20,设,求,112,7.根据极限求参数