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文档简介

3.3.2函数的极值与导数(2),函数的极值定义,f(x1) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x1)；,f(x2) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x2)；,x1叫极大值点；,x2叫极小值点；,（1）极值即峰谷处的函数值； （2）极大（小）值统称为极值 （3）极大（小）值点统称极值点,极值点两侧函数的单调性的特点,极小值， 左侧函数递减，右侧递增，所以导数左负右正； 极大值， 左侧递增，右侧递减，所以导数左正右负；,共性: 极值点的导数为0，两侧的导数值异号,（1）函数的极值是个局部概念，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，也可能没有极值,对极值的多角度认识,（2）函数的极大值不一定比极小值大,f（x1）是极大值，f（x4）是极小值， 但是f（x1）f（x4）,(3)极值点是函数定义域内的点，是波峰（谷）的横坐标，函数定义域的端点绝不是函数的极值点,(4)若f(x)在a，b内有极值， 那么f(x)在a，b内绝不是单调函数， 即在定义域区间上的单调函数没有极值,(5)导数为0的点不一定是极值点,y=x3 在x=0处，虽然导数值为0， 但左右导数无变化，故在x=0处无极值,f（x）=x3,f（x）=3x2,导数,增,增,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 .,定义域为R,故当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=-2;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=2.,例2:求函数 的极值.,解:函数的定义域为,令 ,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,例2:求函数 的极值.,1,求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，从左至右将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（3行） （4）根据极值定义，判断极值的情况,小结,练习1: 若f(x)=x3+ax+2，在x=1 处有极值，求a的值,a=-3,练习：已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析式 （2）求函数 的单调区间,练习1:求函数 的极值.,解:,令 =0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.,有极大
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