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,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,引言 幂级数,1、有简单的收敛域； 2、其和s(x)在（-R,R）内有良好的性质； 3、其形式便于上机计算。,问题：用 来研究函数f(x),一、泰勒级数,求幂级数的和函数得,存在幂级数在其收敛域内以f (x)为和函数.,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,复习Taylor公式,定义,Taylor级数,定理1,证,证毕,Maclaurin级数,Taylor级数,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2,证,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),第一步,第二步,第三步,第四步,例1,解,如图，,例2,解,例3. 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中m,为任意常数 .,解: 易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间 (1, 1) 内收敛.,因此对任意常数 m,则,为避免研究余项 , 设此级数的和函数为,称为二项展开式 .,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .,(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.,由此得,双阶乘,2.间接展开法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换、 四则运算、恒等变形、 逐项求导、 逐项积分等方法，求展开式.,例如,例4,解,因为,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,因为,例9,解,因为,所以,例10,解,因为,所以,例11,解,例12,解,例13,解,例14,解,例15,证,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,
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