函数的极值和单调性(上课.ppt

函数的极值与导数,已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;,【复习与思考】,(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,解析（1） 由 得增区间： 由 得减区间：,（2）函数f (x)在x=0处的函数值比其附近的函数值都大，而在x=2处的函数值比其附近的函数值都小,函数f (x)在x=a处的函数值f(a)比其附近的函数值都小，f/(a)=0,而且在点附近的左侧f /(x)0,观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?,讨论,增,增,减,减,极大值,极小值,左正右负极大值， 左负右正极小值,观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,(1) 极值是一个局部概念,反映了函数在某一点 附近的大小情况;,(2) 极值点是自变量的值，极值指的是函数值;,(3) 函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说明】,(4) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得.,例1,求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负（+ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；,如果左负右正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1) 确定函数的定义域；,极大值,极小值,例2,所以，当x=-1时，函数的极大值是-2， 当x=1时，函数的极小值是2,导函数的正负是 交替出现的吗？,不是,极大值,极小值,求解函数极值一般有哪些步骤？,【思考交流】,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.,练习2,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,习题 A组 4,下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处,(1)导函数 有极大值? (2)导函数 有极小值? (3)函数 有极大值? (4)函数 有极小值?,或,题型 1：图像与函数的极值,1,若函数 在x=-1和x=3时有极值，则a=_,b=_,-3,-9,题型2：含参数的函数,分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根,a2或a-1,2 导函数y=f(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？,X,Y,O,a,x1,x2,x3,x4,x5,x6,b,Y=f(x),X2,x4为极值点 X2为极大值点 X4为极小值点,3 导函数y=f(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f(x)有极大值？ （2）导函数y=f(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？,x1,x2,x3,x4,Y=f(x),X,Y,O,X2,X4,X3,x5,X5,已知汽车在笔直的公路上行驶： （1）如果函数y=f(t)表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点 （2）如果函数y=f(t)表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？,y=f(t),5 以下图形分别表示一个三次函数及其导数在同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序号是（ ）,X,Y,O,X,Y,O,X,Y,O,X,Y,O,(1),(2),(3),(4),A (3)(4) B (1)(3) C (2)(4) D(1)(2),A,2 若不等式 对任意实数x都成立，求实数a的取值范围,分析：由不等式可以知道 ,则要求a的范围，只要a 大于函数 的最大值即可，问题转化成求函数f(x)的最值,课堂小结,1 通过图像来观察函数的极值点 2 利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围,函数的 极值与导数 （三）,目标： 根据函数的极值与函数的导数关系来求解函数的解析式 数形结合来解决问题,例1,题型3： 求解析式,若函数 在x=-1和x=3时有极值，则a=_,b=_,-3,-9,a=-3,b=-9,c=2,极小值为-25,