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8.4 函数的幂级数展开及应用,设,收敛区间 ( -r , r ) , r 0 ,则 S(x) 在 ( -r , r ) 上可导 , 且, S(x) 在 ( -r , r ) 上二阶可导,又 的收敛半径也为 r ,在 ( -r , r ) 上可导 , 且, S(x) 在 ( -r , r ) 上三阶可导,重复这一过程可知 : S(x) 在 ( -r , r ) 上无穷阶可导 ,问题:,即一任意阶可导的函数是否可以展开为一幂级数 ?,这就是函数的幂级数展开问题,令 x x0 ,两边求导得,让 x x0 , 有,再两边求导有,让 x x0 , 有,重复这一过程可得,即如果,则,泰勒级数:,由此得知:,由泰勒公式,若记 的部分和数列为 Sn(x) ,则有,故知:,定理,在点 x 处,(2) 称为函数 f (x) 的麦克劳林级数展开式,常用的泰勒级数展开式 ( 取 x0 = 0 ),(1) f (x) = e x 的展开式,由于,在 x0 = 0 处的泰勒级数为,其收敛半径:, 级数的收敛域为 ( - , + ),又由泰勒公式,其中 介于 0 与 x 之间 ,于是有,据夹逼定理知 , 对任意 x R,所以有,(3),(2) f (x) = sinx 的展开式,在 x0 = 0 处的泰勒级数为,由于, 级数 的收敛域为 ( - , + ),又由于,(3) f (x) = cos x 的展开式,对上式两边对 x 求导有,(4) f (x) = ln ( 1+ x ) 的展开式,(6),即,(5),(5) f (x) = ( 1+ x ) , R 的展开式, f (x) 在 x0 = 0 处的泰勒级数,由于, 收敛区间为 ( -1 , 1 ),对于任意的 x (-1 , 1),记,由于,代入前式有,即满足:,即,解得,由于 S(0) = 1 , c = 0,(7),说明:,(a) 计算,(b) 验证等式成立,(3) 间接展开法:,这一方法的优点:,(a) 回避 的计算,(b) 回避等式的验证,解,因为对于任意的 x( - , + ),令 x = x2 , 代入上式有,说明:,利用,可知,所以有,解,因为,由于,代入上式有,解,由于,将这些展开式代入上式有,解,因为 ,而当 时 ,在上式中令 x = x2 , 有,解,令,则,代入,将 代入上式得,幂级数的应用,(1) 数项级数的求和,解,首先构造一辅助幂级数使符合下面两条件:,(1) 使 为幂级数当 x 取特定值时的结果,(2) 辅助幂级数容易求和,本题取辅助幂级数,求辅助幂级数的和函数,记,所以,解,构造辅助幂级数,则由, 此幂级数的收敛域为 ( - , + ) .,并且,所以求得,(2) 求高阶导数,若 , 则有,解,(3) 近似计算,(a) 函数值的计算,解,因为,由,令 得,(交错级数),由于,所以,解,设 f (x) = arcsin x , 则,两边积分得,令 x = 0.2 得,当
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