函数的连续性(132).ppt

1,高等数学电子课件,安徽职业技术学院公共教学部,二零零八年九月,微 积 分,2,解 因为,要使函数在 点连续,则应有,所以,3,解 这是一个初等函数，其定义域为,而,所以，x =1是函数的第一类的可去间断点；x =2是函数的第二类的无穷间断点。,2、,4,函数的连续性(continuity),气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。,当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性。,连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。,5,函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：, 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开.,函数的连续性,6,1.连续性概念的增量形式,在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的,初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的,增量, 记为 u = u2u1.,定义,7,设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, xU(x0) , 则称 x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.,= f (x0 + x) f (x0 ),y = f (x) f (x0 ),x,y,O,x0,x,x,y,y = f (x),此时, x = x0 + x ,相应地, 函数在点 x0 点处,有增量 y,8,连续性概念的增量形式,则称 f (x) 在点 x0 处连续.,设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若,定义,9,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,右连续 （Continuity from the right）,单侧连续,左连续 （Continuity from the left）,12,函数左、右连续的几何解释,在 x = 0 处的连续性.,13,讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处, y = | x | 在点 x = 0 处连续.,x,y,y = | x |,O,的连续性.,解,14,讨论函数 f (x) =,x2, x 1,在 x = 1 处的连续性., 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续.,故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的.,x + 1, x 1,但由于,解,15,3.函数在区间上的连续性,设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义.,若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为,f (x)C( (a, b) ).,定义,16,若 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处,右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数,f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 记为,f (x)C( a, b ).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,17,二、函数的间断点,18,函数间断点的分类,函数的间断点,19,(1) 第一类间断点,若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且,f (x) 的第一类间断点.,则称 x0 为函数,定义,20,讨论,函数在 x =1 无定义,故 x =1 为函数的第一类间断点., x =1 为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),y x + 1,进一步分析该间断点的特点.,解,21,补充定义,则函数 f *(x) 在 x =1 连续.,f * (x) =,2 x = 1,即定义,故 x =1 为函数的可去间断点.,22,跳跃间断点,例2,解,将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.,23,(2) 第二类间断点,凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,24,讨论函数,x,y,O,在 x = 0 无定义,x = 0为函数的间断点,故 x = 0为函数,的第二类间断点.,解,25,在 x = 0 处无定义,又,不存在,故 x = 0 为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,26,O,1,1,x,y,27,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,28,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),29,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,30,四.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,31,一、四则运算的连续性,定理1,例如,32,定理,例如,二、复合函数的连续性,33,三、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内是连续的.,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,初等函数求极限的方法代入法.,34,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,35,例2,例3,解,解,36,一.最大值和最小值定理,二.介值定理,闭区间上连续函数的性质,37,最大值和最小值定理,设 f (x) 在 a, b上连续, 则,(i) f (x) 在 a, b 上为以下两种单调函数时,38,y = f (x) a, b ,y = f (x) a, b ,则,则,39,(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时,x,y,a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y = f (x),O,40,(最大值和最小值定理),若 f (x) 在 a, b上连续 , 则它在该闭区间,上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .,定理,41,应注意的问题,42,又如 如下函数在闭区间0 2 内既无最大值又无最小值,如果函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,43,(介值定理),定理2,44,最大、最小值定理,介质定理,？,引入,45,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( )0.,设 f (x) 在 a, b 上连续, 且 f (a) f (b) 0,如何理解？,定理1,46,证明方程 x5 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间,令 f (x) = x