函数的连续性与间断点(2).ppt

1,第八节 函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、小结 思考题,2,【引言】,自然界中的许多现象，如气温的变化、 河水的流动、动植物的生长等等都是 连续地变化着的；这种现象在数学上 的反映，就是函数的连续性.,3,一、函数的连续性,1.【增量】,【增量的几何解释】,4,2.【连续的定义】,【概念描述】,【定义1】,连续的本质,5,【定义2】,【注】f (x)在x0处连续的三个条件（三条缺一不可）,则称函数 y = f (x) 在点x0处连续.,6,【注解】,条件,条件,在本质上是一样的，只是形式上的不同,条件式清楚地反映了连续概念的实质， 即,自变量产生微小变化时，函数 的变化也很微小.,但在证明具体函数的连续性以及作理论分析时，常应用条件式（因为条件要具体计算y,往往很麻烦）,7,【补例1】,【证】,由定义2知,f (x) 在x0的邻域内显然有定义,8,3.【单侧连续】,【左连续】,【右连续】,【定理】,9,【补例2】,【解】,右连续但不左连续，,10,4.【连续函数与连续区间】,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,【几何表现】,闭区间a,b上的连续函数的集合,11,【相关结论】,5中已证多项式 f (x)有,在定义域内连续.,3 例5 已证明,12,【例3】,【证】,【相关结论】,13,二、函数的间断点,【描述】,如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数 f (x) 在点 x0 处不连续（或间断），并称点 x0 为 f (x) 的不连续点（或间断点）.,函数 f (x) 在点x0处连续必须满足的三个条件,14,1. 【间断点定义】,设函数 f (x) 在点x0的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 f (x) 有下列三种情形之一：,在 x=x0 没有定义；,虽在 x=x0 有定义，但 不存在；,虽在 x=x0 有定义，且 存在，但,则函数 f (x) 在点 x0 处不连续（或间断），并称点 x0 为 f (x) 的不连续点（或间断点）.,15,【特别强调】,连续点要求在x0的某邻域内有定义；,间断点要求在x0的某去心邻域内有定义；,失去这个前提，则不能研究点x0的连续性.,例如,定义域是一些离散的点的集合，在这些点的某去心邻域 f (x) 无定义,则这些点既不是f (x)的连续点，也不是它的间断点,连续点x0与间断点x0的共性是： 均要求在x0的某去心邻域内有定义（ 【思考】 为什么？），在这个前提下才有“f (x)的不连续点就是它的间断点”成立.,16,跳跃间断点,【补例4】,【解】,2.【函数间断点的几种常见类型】,(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点).,17,可去间断点,【补例5】,18,【解】,【说明】 可去间断点只要改变（原来有定义时）或者补充（原来无定义时）间断点处函数的定义, 则可使其变为连续点，故称其为可去间断点.,19,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,【特点】,可去型 ： 左右极限存在且相等.,跳跃型： 左右极限存在但不相等.,20,(2)【第二类间断点】,【补例6】,【解】,【特点】,这种情况称为无穷间断点,21,【例7】,【解】,这种情况称为振荡间断点.,【特点】,振荡而不存在，但均不为，称之.,22,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x = 0 处连续, 其余各点处处间断.特别地,课后习题P65 5（3）反例,【注意】 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,23,在定义域R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,【观察练习】立即说出下列间断点类型:,课后习题P65 5（2）反例,24,又如:,无穷间断点,振荡间断点,可去间断点,25,【补例8】,【解】,26,【典型补充例题】备用机动题,【补充1】,【解】,的间断点为,因为,所以,是 的第一类间断点（跳跃型）,27,【补充2】,【解】,则,是 的第一类（可去）间断点.,28,右连续,三、小结,左连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,