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文档简介

一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,二、典型例题,解,分离变量,两端积分,将,代入上式，得,所以原方程的通解为,所以原方程的特解为,即,。,解,由题设条件,衰变规律,例 4,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,三、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,例 6 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 7 求解微分方程,解,微分方程的解为,例 8 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,得微分方程,由夹角正切公式得,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,四、可化为齐次的方程,为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程.,2.解法,1.定义,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解, 上述方法不能用.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,解,代入原方程得,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,例10 求解微分方程,解,令,再令,两边积分后得,变量还原得,例11 求解微分方程,解,令,令,令,两边同时积分得,变量还原后得通解,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,通解为,解,分离变量法步骤:,1、分离变量;,2
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