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第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程,一、齐次方程,二、可化为齐次型的方程,三、伯努利方程,一、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,令,代入原方程,得,可分离变量的方程,1.定义,两边积分, 得,积分后再用 代替 u,便得原方程的通解.,分离变量，,例1 求解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 求解过程中丢失了.,例 2 求解微分方程,微分方程的解为,解,解,代入原式,分离变量法解得,所求通解为,另解,利用变量代换求微分方程的解,解,分离变量法得,所求通解为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,三、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例1,五、小结,1、齐次方程,齐次方程的解法,2、可化为齐次方程的方程,3、伯努利方程,伯努利方程的解法,六、几点说明:,1、一阶微分方程的类型较多 , 不同类型有不同的解法 , 因此首先要识别方程的类型 , 然后应用相应的解法 .,2、有时所给的方程并非标准型 , 应把方程转化为标准形式再求解 .,思考题,方程,是否为齐次方程?,解,方程两边同时对 x 求导:,原方程是齐次方程.,解,例1.,令,则方程变形为,其通解为,将
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