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第二节,可分离变量的微分方程 和一阶线性微分方程,第十二章,二 、一阶线性微分方程,一、可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,类型1,求解法：,变量分离,可以验证: (1.3)式为微分方程 (1.1) 的(隐式)通解.,事实上，,的解，则它必满足 (1.3) ;,反之，若,是由(1.3)确定的隐函数，即,则由隐函数求导法，得,注 若题目只需求通解，则不必讨论,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,C,例2,求微分方程,解,为所求通解.,二、一阶线性微分方程,类型2,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如, 一阶线性微分方程,齐次线性方程的通解为：,1 齐次线性方程：,求解法:,分离变量：,1. 常数变易法,2 非齐次线性方程：,作变换,可分离变量方程,积分得,一阶非齐次线性微分方程(4.1)的通解为:,2. 常数变易公式,1 常数变易法的实质:,注,未知函数的变量代换法，通过变量代换将原方程化为可分离变量的方程.,2 在常数变易公式(2.3)中，应将积分,3 特解公式,4 (2.1)的解的结构,非齐次线性方程(2.1)的特解,对应齐次线性方程(2.2)的通解,解,例5,通解：,例6,解,关于x为线性方程,通解：,1 分离变量;,2两端积分-隐式通解；,内容小结,1. 可分离变量方程的求解步骤:,3根据定解条件定常数 .,2. 一阶线性方程,方法1 先解齐次线性方程 , 再用常数变易法；,方法2 用常数变易（通解）公式,例6-2,分析,由于所给关系式是未知函数的二重积分，,积分化为二次积分，而积分限为的函数,由二重积分的被积函数及积分域，将二重
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