简单复合函数求导法则.pptx

,第二章 变化率与导数,5 简单复合函数的求导法则,1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(axb)的导数).,明目标、知重点,填要点、记疑点,1. 复合函数的概念,2. 复合函数的求导法则,1.复合函数的概念,一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成 ，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的 ，记作 ，其中u为中间变量.,x的函数,复合函数,yf(x),2.复合函数的求导法则,复合函数yf(x)的导数和函数yf(u)，u(x)的导数间的关系为yx .即y对x的导数是 .,yuux,y对u,的导数与u对x的导数的乘积,探要点、究所然,探究点一 复合函数的定义,探究点二 复合函数导数的求解,探究点三 复合函数导数的应用,探究点一 复合函数的定义,思考1 观察函数y2xcos x及yln(x2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？,答 y2xcos x是由u2x及vcos x相乘得到的； 而yln(x2)是由ux2与yln u(x2)经过“复合”得到的， 即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数. 所以yln(x2)称为复合函数.,思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？,答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出yf(u)； 再根据内层的主体函数结构找出函数ug(x)，函数yf(u)和ug(x)复合而成函数yf(g(x).,探究点一 复合函数的定义,思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？,答 AB.,探究点一 复合函数的定义,小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法.,探究点一 复合函数的定义,例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y(35x)2；(2)ylog3(x22x5)；(3)ycos 3x.,解 (1)y(35x)2是由函数yu2，u35x复合而成的； (2)ylog3(x22x5)是由函数ylog3u，ux22x5复合而成的； (3)ycos 3x是由函数ycos u，u3x复合而成的.,探究点一 复合函数的定义,反思与感悟 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.,探究点一 复合函数的定义,(2)yeu，usin x；,探究点一 复合函数的定义,探究点二 复合函数导数的求解,思考 如何求复合函数的导数？,答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式； (2)利用求导法则分层求导； (3)最终结果要将中间变量换成自变量.注意不要漏掉第(3)步回代的过程.,解 (1)原函数可看作yu4，u2x1的复合函数， 则yxyuux(u4)(2x1)4u32 8(2x1)3.,探究点二 复合函数导数的求解,() , ,( ) ,() ,探究点二 复合函数导数的求解,(4)原函数可看作y10u，u2x3的复合函数， 则yxyuux102x3ln 102(ln 100)102x3.,探究点二 复合函数导数的求解,反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.,探究点二 复合函数导数的求解,跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y(2x3)2；(2)ye0.05x1；(3)ysin(x).,解 (1)函数y(2x3)2可以看成函数yu2，u2x3的复合函数. yxyuux(u2)(2x3)2u24(2x3)8x12.,探究点二 复合函数导数的求解,(2)函数ye0.05x1可以看成函数yeu和函数 u0.05x1的复合函数. yxyuux(eu)(0.05x1)0.05eu0.05 e0.05x1.,探究点二 复合函数导数的求解,(3)函数ysin(x)可以看成函数ysin u，ux的复合函数. yxyuux(sin u)(x)cos u cos(x).,探究点二 复合函数导数的求解,探究点三 复合函数导数的应用,解 ye2x1(2x1)2e2x1，,y 2，,| = 1 2,即2xy20.,反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法.,探究点三 复合函数导数的应用,解 设usin x，则y(esin x)(eu)(sin x). cos xesin x. y|x01. 则切线方程为y1x0， 即xy10.,探究点三 复合函数导数的应用,若直线l与切线平行可设直线l的方程为xyc0. 两平行线间的距离d = c3或c1. 故直线l的方程为xy30或xy10.,探究点三 复合函数导数的应用,当堂测、查疑缺,1,2,3,4,1,2,3,1.函数y(3x2)2的导数为( ) A.2(3x2) B.6x C.6x(3x2) D.6(3x2),4,解析 y2(3x2)(3x2)6(3x2).,D,1,2,3,2.若函数ysin2x，则y等于( ) A.sin 2x B.2sin x C.sin xcos x D.cos2x,4,解析 y2sin x(sin x)2sin xcos xsin 2x.,A,1,2,3,3.若yf(x2)，则y等于( ) A.2xf(x2) B.2xf(x) C.4x2f(x) D.f(x2),4,解析 设x2u，则yf(u)ux f(x2)(x2)2xf(x2).,A,1,2,4.设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.,3,4,解析 由题意知y|x0aeax|x0a2.,2,求简单复合函数f(axb)的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先