哈工大课件——第12章非线性动态电路的暂态过程.ppt

第十二章 非线性动态电路的暂态过程,3 数值分析法,1 非线性电容与非线性电感,2 非线性动态电路的状态方程,6 状态平面分析法,4 分段线性分析法,5 小信号分析法,7 平衡状态的稳定性,由前两章得知，描述线性动态电路的方程是线性微分方程。工程上还广泛存在用非线性微分方程来描述的电路，称为非线性动态电路。本章简要介绍一些常用的非线性动态电路计算方法，包括数值分析法、分段线性分析法、小信号分析法和状态平面分析法。结合具体电路讨论平衡状态稳定性的判断方法、介绍跳变与振荡现象。,本章目次,非线性电容：电容器所储存的电荷与极板间电压不成正比关系。,(a),(b),(c),电压电荷关系曲线,基本要求：了解非线性电容与非线性电感的特性。,注：本章不讨论含回线型非线性电容的电路。,电荷与电压关系不能用显函数表示,回线型非线性电容 (例如用钛酸钡作介质的电容),电荷与电压关系,(d),非线性电容,流控型,表示为,链控型,表示为,波形为,单调型,表示为,波形为,回线型,无显函数表达,表示为,波形为,非线性电感：穿过线圈的磁链与流过的电流不是正比关系 。,非线性电感,非线性动态电路：含有非线性元件(独立电源除外)的动态电路。以右为例，列写非线性动态电路的状态方程，过程如下：,由KVL得,代入得,推广到一般,一阶非线性动态电路状态方程的一般形式,状态变量,基本要求：了解非线性动态电路状态方程的列写、一般形式和分类。,非线性RL电路,电路如图所示，设电容的初始电压为 ，二极管的电压电流关系近似表示为 ，求 时的电压uC。,时的电流为,伯努利方程,两边除以-C,两边除以,或,由已知条件得,其通解为,解得,将K值代入,两边取倒数,电路如图所示，非线性电感是链控型，即 ，非线性电阻是压控的，即 。列出状态方程。,对节点列KCL方程,选电容电压 u1 和电感磁链 2 为状态变量。,对回路l列KVL方程,非线性状态方程的标准形式,自治方程(autonomous equation)：方程中不明显地含有时间t的微分方程组。 自治网络(autonomous network)：可用自治方程描述的电网络。 平衡点(equilibrium)：自治方程的稳态解，即 的解。对应的电路状 态称为平衡状态。在平衡点处状态变量,推广到一般情况,状态向量,输入向量,V(t)是常量,直流激励或零输入,外加激励是时间函数,非自治方程,非自治网络,数值分析法：根据响应的初始值和 t0 时的激励，逐步递推响应在离散时刻的近似值。以一阶电路为例介绍如下。,一阶电路状态方程,两边乘以dt 再取定积分,基本迭代公式,基本要求：了解教材中介绍的数值分析法的原理和特点。,1前向欧拉法(Forward Euler method),如图所示，本法用高度为 矩形面积近似代替曲边梯形面积 ，即令,代入 得,前向欧拉法迭代公式,步长：,2后向欧拉法(Backward Euler method),如图所示，本法用高度为 矩形面积近似代替曲边梯形面积 ，即令,代入 得,后向欧拉法迭代公式,3梯形法(trapezoidal method),如图所示，本法梯形面积近似代替曲边梯形面积 ，即令,代入 得,梯形法迭代公式,4预报校正法(prediction correction method),对梯形法稍加改造，以减小计算量而又保持较高的计算精度：先用前向欧拉法求出 作为预报值，然后把它代入梯形法迭代公式的 作校正。其迭代公式为：,电路如图所示，设 ，非线性电阻特性为 (单位：A,V)。试用预报校正法求出0到1s(步长取h=0.2s)各时刻的响应值 。,由图列出t0时的电路方程：,代入非线性电阻特性得,根据预报校正法迭代公式得：,% 例题12.3的MATLAB语言程序 uk=10;h=0.2; % 赋初值、设定步长。 for t=h:h:1 % 循环体控制。起始时刻：步长：终止时刻。 fk=(-0.1*uk-0.01*uk2); uk1=uk+h*fk; % 用前向欧拉法进行预报。 fk1=(-0.1*uk1-0.01*uk12); uk=uk+0.5*h*(fk+fk1); %用梯形法进行校正。 t, uk % 显示迭代计算值。 end % 循环结束。,基本要求：掌握分段线性分析法的基本原理和计算步骤。,t0时的电路方程为,R上u，i关系近似为 记作 i=f(u),以下图为例：,分段线性RC 电路,(1) 确定动态路径,由,得,i0,du/dt0,i0,du/dt0,动态点左移,动态点右移,新的稳态,分段线性RC 电路,(2) 计算动态点位于AB段的响应,AB 段的非线性电阻的电压、电流关系方程为,对应的分段线性模型如右图，其中,根据三要素公式，图中电容电压为,R10,t uC ,动态点由P0 向P1移动,(2) 计算动态点位于AO段的响应,动态点达到P1所需时间,对应线性电路模型,动态点(u,i)将从P1移向O ，此时非线性电阻 的特性是用直线段OA 描述的，直线方程为,tt1的响应为（零输入）,分段线性电路模型,电压 uC 的波形,电路如图(a)所示，设IS=1.5A，C=1F，非线性电阻的电压电流关系如图 (b)所示。uC(0-)=2.5V，求t0时的电容电压uC 。,(b),t0时由图 (a)得：,所以,根据已知初始值uC(0-)=2.5V得,故动态路径的起始点为 直线段的P0点。,(a),i IS,duR/dt0,i IS,duR/dt0,动态点左移,动态点右移,i= IS,duR/dt=0,平衡点,CP3，P2AP1,P1，P2，P3,P2BP3，OP1,直线段的直线方程为：,(c),对应该段的线性电路模型如图(C) 由此图得,设t1为动态点到达B点的时刻，则,分段线性电路模型,t 时，动态点趋近平衡点P3。,当tt1时，动态点位于 段上。,直线段的直线方程为：,由此图得：,对应该段的线性电路模型如图 (d)。,(d),基本要求：掌握小信号分析法(small signal analysis)分析法的原理和步骤。,小信号分析法主要包括主要步骤：,确定电路平衡状态解答。 计算小信号解答。,1 计算电路平衡状态解答,小信号电源e不作用,利用直流电路方法,求解平衡状态解如UR、UC和IL,小信号基尔霍夫定律,2 计算小信号解答,类似得出结论：各支路电压增量须满足KVL，即,上两代数和中包括小信号电流(压)源。,由KCL得,平衡状态时,所以得,元件方程的增量形式,动态电容,动态电阻或动态电导,动态电感,综上所述，由小信号电源作用所产生的小信号电压、电流分别服从KCL和KVL，小信号元件方程为近似的线性方程。据此可作出线性的小信号等效电路，如右图所示。其中e为小信号电源，各非线性元件均用其动态参数表示。解此线性电路便可得到小信号的近似解。,把平衡状态解答与小信号解答相加便得到电路的近似全解,图为非线性动态电路，设非线性电阻电压电流关系为 iR= 1.389 10-3 uR2，(uR 0) (单位：A，V)，非线性电感 =1.06710-3iL2 (单位：Wb，A)，直流电压源US=60V，阶跃电压源 uS=3(t)V。求t0时的响应uR。,动态电阻和动态电感分别为,画出直流电源单独作用时计算平衡状态的等效电路如图，求得,代入三要素公式得,平衡状态解答与小信号解相加得,小信号线性等效电路如图 所示。它是一阶线性动态电路，并且为零状态。由图得,基本要求：了解状态平面的概念和状态轨迹的画法。,状态平面：以(x1，x2)为坐标点的x1x2平面。 状态轨迹：将t看作参变量，并设 t=0+，t1，t2 ， 对应x1和x2将在x1x2平面上描绘出一条以x1(0+)，x2 (0+)为起点的轨迹，称为状态轨迹。 状态平面分析法：在状态平面上绘制状态轨迹，通过分析状态轨迹的几何性质，进而研究动态电路的特性的方法。,如果已知状态变量的初始值和，由式(12.29)可求得 t0 时的解，记作,(12.30),(12.29),设二阶非线性自治电路的状态方程为,绘制状态轨迹的方法：,在给定初始值x1(0+)及x2 (0+) 的情况下，求出微分方程(12.31)的解x2=F(x1) ，根据这一解答画出状态轨迹。,(1) 求出方程(12.29)的解x1(t)和x2 (t) ，令t=0+，t1，t2 ，求出相应的x1和x2 便可绘制状态轨迹。,画出图示电路的状态轨迹。,(5),上式表明状态轨迹是垂直半轴为K1、水平半轴为K2的椭圆。 K1 、 K2与初始值有关，不同的初始值对应不同的椭圆轨迹，,画出的。由上式得知，当iL0 时，duC /dt0 ，uC 递增。所以状态轨迹方向为顺时针。,如图所示，图中状态轨迹的方向是根据,1 利用动态路径判断一阶电路平衡状态的稳定性,(a) (b),稳定平衡状态,不稳定平衡状态,总结：如果平衡状态附近的动态路径方向均指向平衡状态，则该平衡状态是稳定的；否则是不稳定的。,基本要求：了解平衡状态稳定性的概念及判别方法。,平衡状态的稳定性：若由于某种扰动使电路工作状态偏离了平衡状态，扰动结束后，如果电路能够恢复到原来的平衡状态，则称该平衡状态是稳定的；否则为不稳定的。,图(a)为一弧光灯电路，US为直流电压源，弧光灯为一非线性电阻，其特性为流控型，记作u=u(i)，如图 (b)所示。判断平衡状态的稳定性。,(a) (b),利用图解法解上述方程，求得各平衡状态M、A、B点。,先确定全部平衡状态。 由于在平衡状态时di/dt=0 ，有,(12.32),由上式可判定 M 和 B 对应稳定平衡状态；而 A 对应不稳定平衡状态。,(2) 确定动态路径。设电路处于非平衡状态，其KVL方程为,或写作,(12.33),2 利用小信号分析法判断平衡状态的稳定性,其中I(s)表示 i 的象函数， U (s)表示US的象函数。由式(12.34)求得小信号等效电路的网络函数为,(12.35),设例12.7电路处于平衡状态时受到微小扰动，记作uS，它叠加在US上。Rd为动态电阻，Rd=du/dt，则该电路的小信号等效电路如下图所示。,(12.34),其复频域响应：,为网络函数的极点。,(12.35),在11.6节中讨论了网络函数极点位置与单位冲激特性的关系，并已得出：网络函数极点位置决定了冲激响应的稳定性。在本示例中三个平衡状态对应三个动态电阻，故极点有三种情况，分别讨论如下： (1) 在平衡状态 M 处，动态电阻 Rd0，极点 pR，所以极点 p0 ，位于s平面的右半平面，A点是不稳定平衡状态。 (3) 在平衡状态 B 处，动态电阻 Rd0 ，但 | Rd |R ，所以极点 p0 ，位于s平面的左半平面，B 点是稳定平衡状态。,上述方法推广得