苏教版高三数学复习课件8.4直线与圆的位置关系.ppt

能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系/能根据给定两个圆 的方程，判断两圆的位置关系/利用直线和圆的方程解决一些简单问题/初步 了解用代数方法处理几何问题的思想 【命题预测】 这部分知识是历年高考的一个热点，主要考查直线与圆、圆与圆的位置关 系、轨迹问题及与圆有关的最值问题,第4课时 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系,【应试对策】 1代数法和几何法是判断直线和圆的位置关系的两种方法，在使用这两种方法时要正确进行选择如果是直线和圆相切的问题，通常可以利用圆心到直线的距离和半径的关系进行判断；但是直线和圆相交的问题通常使用代数法进行解决，在求出弦长之后再结合实际图形来解决，特别是利用相关的直角三角形可以降低运算量研究直线与圆的位置关系时，要紧紧抓住圆心到直线的距离与圆半径的大小关系这一知识点，这个过程充分体现并运用了数形结合思想、分类讨论思想，这是解析几何中重要的数学思想方法运用数形结合的思想解题时要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重、不漏在对含有参数的直线和圆的方程进行判断时，还可以通过分析直线与圆是否过定点进行判断，从而达到简化运算的目的 .,2判定两圆位置关系的难点在于求圆心距及两圆半径，一般把圆的方程化为标准方程，找出两圆圆心，代入两点之间的距离公式即可得出圆心距，然后比较与两圆半径的和与差的大小即可有时候也可以根据两圆的实际图形及圆的弦所具有的性质进行判定，但是无论如何最好先把圆的方程化成标准形式，再进行下一步的分析对于求两圆的切线问题通常是根据实际图形，利用代数与几何知识相结合的方法进行求解判断两圆的位置关系时，应先求圆的半径和圆心坐标，再求两圆的圆心距，最后比较圆心距和两圆半径和、差的绝对值的大小关系两圆相交弦所在直线的方程是由两个圆的方程联立组成的方程组确定的，消去二次项后所得的二元一次方程就是两圆公共弦所在的直线方程,3过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得的值只有一个时，则另一条的切线斜率一定不存在，可由数形结合法求出确定两圆的公切线的条数，首先应判断两圆的位置关系，从而防止漏解一般地，当两圆内切时有一条公切线，外切时有三条公切线，相交时有两条公切线，外离时有四条公切线，内含时无公切线切点与圆心的连线与切线垂直这一几何性质在解题中有着广泛的运用掌握圆心距和两圆半径的关系以及圆的平面几何性质对于解决圆的问题起到很重要的作用涉及与圆的弦有关的问题时，为简化运算，常利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行解题,与圆有关的最值问题 解直线与圆的最值问题主要有以下两种思路： (1)代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最 值，然后根据函数最值的求法进行求解在转化过程中常用到向量的数量积、 二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法 (2)几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的 位置变化情况，找到最大、最小取值点,【知识拓展】,例如：已知实数x、y满足方程x2y22，求 的最大值此题条件方程“x2y22”的几何意义是点P(x，y)为圆x2y22 上的点，则 就表示过点P(x，y)和点M(2，2)的直线的斜率显然当直线MP与圆x2y22相切时，kMP取最值如果要求xy的最值，令xyb，则yxb，那么b表示斜率为1的直线与圆x2y22相交或相切时直线的纵截距，只要作出图象即可求出最值,1直线与圆的位置关系,0,2,2.圆与圆的位置关系,1(2010栟茶高级中学学情分析)不论k为何实数，直线ykx1与曲线x2 y22axa22a40恒有公共点，则实数a的取值范围是_ 答案：1a3,2若直线5x12yc0与圆(x1)2(y1)29相切，则c的值为 _ 解析：由题意可得 3，c22或c56. 答案：22或56,3经过两圆x2y22x2y70和x2y24x4y80的两个交点的直线的方程是_ 解析：两圆的方程相减得6x6y10，即6x6y10. 此方程表示的曲线过两个圆的交点因此，6x6y10为所求直线方程 答案：6x6y10,4若两圆x2y24与x2y22axa210相内切，则a_. 解析：圆x2y22axa210可写成(xa)2y21. 两圆的半径分别为2,1，两圆的圆心距为|a|.两圆内切， |a|21，a 1. 答案：1,5直线 x y2 0截圆x2y24所得劣弧对应的圆心角度数为 _ 解析：圆心到直线 xy2 0的距离为|OH| ， 由|OA|2，得cosAOH .AOH30，AOB60. 答案：60,直线l：AxByC0(A、B不同时为零)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位 置关系的判断方法有：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线AxByC0的距 离d ， dr直线与圆相离 (2)代数方法：由 消元，得到的一元二次方程的判别式 为，则0直线与圆相交；0直线与圆相切；0直线与圆相 离,【例1】 已知圆C：(x1)2(y2)225及直线l：(2m1)x(m1)y7m 4(mR) (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程 思路点拨：问题(1)若按常规思路只需圆心C(1,2)到直线l的距离恒小于半径 即可，但注意到直线l的方程写成xy4m(2xy7)0后，发现直线l过 直线xy40与直线2xy70的交点(3,1)若该定点在圆内部，则问 题(1)得证,(1)证明：由(2m1)x(m1)y7m4(mR)， 得：m(2xy7)(xy4)0， 解 直线l恒过定点(3,1)， (31)2(12)2525，点(3,1)在圆内部 不论m为何实数，直线l与圆恒相交,(2)解：从(1)的结论知直线l过定点M(3,1)且与此点的圆C的半径垂直时，l被 圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理知|AB|2 2 4 . 此时 ，从 ，得m ，代入得直线l的 方程为2xy50.,变式1：m为何值时，直线2xym0与圆x2y25满足以下条件 (1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直 解：(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r ， 圆心到直线2xym0的距离d ， 直线与圆无公共点，dr，即 ，m5或m5. 故当m5或m5时，直线与圆无公共点,(2)如右图所示，由平面几何垂径定理知r2d212， 即5 1.得m2 ，当m2 时，直线被圆截 得的弦长为2. (3)如右图所示，由于交点处两条半径互相垂直， 弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形 故当m 时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直,1判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径的和与差 之间的关系，一般不采用代数法 2若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项即可得到,【例2】 已知圆M：x2y22mx2nym210与圆N：x2y22x2y 20交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方 程，并求其中半径最小时圆M的方程 思路点拨：先由两圆方程求出直线AB的方程，则由题意知AB过N的圆 心，半径最小可转化为圆心到AB的距离最小,解：由圆M的方程知圆心M(m，n)又由方程组 得直线AB的方程为2(m1)x2(n1)ym210.又AB平分圆N的圆周， 所以圆N的圆心N(1，1)在直线AB上， 2(m1)(1)2(n1)(1)m210. m22m2n50，即(m1)22(n2)(*) (x1)22(y2)即为点M的轨迹方程.,又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，此时|MN|也最小 d . 由(*)可知n2，d1.即最小值为1，此时m1，n2.故此时圆M 的方程为(x1)2(y2)25.,变式2：(2010江苏省海门中学调研)当且仅当mrn时，两圆x2y249 与x2y26x8y25r20(r0)有公共点，则nm的值为_ 答案：10,1求圆的切线一般有两种方法，第一种方法是利用圆心到直线的距离等于半径来求切线，这种方法较常用，第二种方法是利用判别式法 2处理圆的弦长的问题常用弦心距、半弦长、半径之间的关系来求，也可以利用公式：弦长 |x1x2|(其中k为弦所在直线的斜率，x1，x2为弦的端点的横坐标)来求,【例3】 求与圆C：x2y22x0外切，与直线xy0相切于点(3， ) 的圆的方程 思路点拨：采用待定系数法求圆的标准方程 解：圆C可化为(x1)2y21，设所求圆的圆心为A(a，b)，半径为r(r 0)， 则点A满足在过点(3， )且与x y0垂直的直线上， 即y = (x3)，,化简得r2|a3|，当a3时，r2(a3)，代入解得a4，则b0，r2， 所求圆的方程为(x4)2y24，当a3时，r2(3a)， 代入解得a0，则b4 ，r6，所求圆的方程为x2(y4 )236， 所以，所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4 )236.,变式3：已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0. (1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？ (3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 解：两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261 m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为 和 .,(2)当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心间距离5，故只有 5， 解得m2510 . (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y 45)0，即4x3y230， 公共弦长为 2 .,1根据直线与圆的位置关系求弦长，一般不用判别式，而是用圆心到直线 的距离与半径大小关系求解 2要注意数形结合，充分利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分 弦”“圆的切线垂直于经过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心 三点共线”等等，寻找解题途径，减少运算量,【规律方法总结】,3圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂 直于l. 4圆与直线l相交的情形圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直 线平分l被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点 的所有弦中，最短的是垂直于过此点的直径的那条弦，最长的是过这点的 直径 在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇 的思路，避免冗长的计算,【高考真题】 【例4】 (2009天津卷)若圆x2y24与圆x2y22ay60( a0)的公共弦 的长为2 ，则a_. 分析：求出两圆的公共弦所在的直线方程，根据直线被圆所截得的弦长 公式列方程求解,规范解答：两个圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为y ，则圆心(0,0)到直线的距离d ，根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，可得22 ，又a0，解得a1.故填1. 答案：1,本题给出两个圆的公共弦长，说明第二个圆也是定圆，通过这样的设计考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系的基本知识，考查考生分析问题、解决问题的能力，是一道知识考查与能力考查并重的试题这类题目也是对教材题目的适当改造，本题设置了参数，问题实质没有变化解决这类问题的一个基本方法就是求出两个圆的公共弦所在的直线方程，根据直线被圆所截得的弦长公式解决,【课本探源】,【全解密】,两个圆的位置关系两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，圆心距|O1O2|d，则两圆外离dr1r2；两圆外切dr1r2；两圆相交|r1r2|dr1r2；两圆内切d|r1r2|；两圆内含0d|r1r2|；两圆是同心圆d0.,【知识链接】,当两个圆相交时，这两个圆的方程消掉二次项后所得到的二元一次方程就是这两个圆的公共弦所在的直线方程，这在解决两个圆的相交问题时是一个非常重要的方法这个方法还可以用来解决圆的切点弦所在的直线方程，即从圆C外一点A向圆引两条切线，切点分别是M、N，求M、N所在直线的方程问题，方法是：根据圆的切线的性质与圆的性质，点A、M、C、N四点在以AC为直径的圆上，直线MN就是这个圆与已知圆C的公共弦所在的直线，写出这个圆的方程，和已知圆C的方程联立，消掉二次项即得所求的直线方程，这条直线方程就叫做两圆的切点弦所在的直线方程，简称切点弦方程,【方法探究】,本题可以通过直接求解两圆交点的坐标解决，也可以根据几何关系解决用几何关系的解法如下：根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，首先得到圆x2y24的圆心到公共弦的距离d1 1，设圆x2y22ay60(a0)的圆心到公共弦的距离为d2，则d2 ，两个圆的圆心距等于a，而两圆的圆心距要么等于d1d2，要么等于|d1d2|，显然本题中两个圆的圆心距等于d2d1，即 1a，解得a1. 本题容易忽视限制条件得到a1，或是出现计算上的错误等.,【发散思维】,1判断圆C1：x2y22x6y260与圆C2：x2y24x2y40的公 切线条数 分析：两圆的公切线条数是由两圆的位置关系决定的，所以，解决此类题 目的关键是判断两圆的位置关系,解：将圆C1化为标准方程：(x1)2(y3)236，得圆心坐标C1(1,3)，半径r16. 将圆C2化为标准方程：(x2)2(y1)21，得圆心坐标C2(2，1)，半径r21. |C1C2| 5，又|C1C2|r1r2|5，即两圆内切 圆C1与圆C2有一条公切线,2某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，