（浙江专用）高考数学板块命题点专练（九）数列与数学归纳法（含解析）.docx

板块命题点专练（九） 数列与数学归纳法命题点一数列的概念及表示1(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.解析：Sn2an1，当n2时，Sn12an11，anSnSn12an2an1，即an2an1.当n1时，由a1S12a11，得a11.数列an是首项a1为1，公比q为2的等比数列，Sn12n，S612663.答案：632(2014全国卷)数列 an满足 an1，a82，则a1 _.解析：将a82代入an1，可求得a7；再将a7代入an1，可求得a61；再将a61代入an1，可求得a52；由此可以推出数列an是一个周期数列，且周期为3，所以a1a7.答案：命题点二等差数列与等比数列1(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10C10 D12解析：选B设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得3(3a13d)2a1d4a16d，即3a12d0.将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.2(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏C5盏 D9盏解析：选B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得S7381，解得a13.3(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3C3 D8解析：选A设等差数列an的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，则d2，所以an前6项的和S661(2)24.4(2018北京高考)设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为_解析：法一：设数列an的公差为d.a2a536，(a1d)(a14d)2a15d36.a13，d6，an6n3.法二：设数列an的公差为d，a2a5a1a636，a13，a633，d6，an6n3.答案：an6n35(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.解析：an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，数列是公比为3的等比数列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.答案：11216(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解：(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.又a17，所以d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216，所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.7(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解：(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63，得2m64，解得m6.综上，m6.8(2018浙江高考)已知等比数列an的公比q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中项数列bn满足b11，数列(bn1bn)an的前n项和为2n2n.(1)求q的值；(2)求数列bn的通项公式解：(1)由a42是a3，a5的等差中项，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520，得820，解得q2或q.因为q1，所以q2.(2)设cn(bn1bn)an，数列cn的前n项和为Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可得an2n1，所以bn1bn(4n1)n1，故bnbn1(4n5)n2，n2，bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)n2(4n9)n373.设Tn37112(4n5)n2，n2，则Tn372(4n9)n2(4n5)n1，两式相减，得Tn34424n2(4n5)n1，所以Tn14(4n3)n2，n2.又b11，所以bn15(4n3)n2.命题点三数列的综合应用1(2018浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1a2a3a4ln(a1a2a3)，若a11，则()Aa1a3，a2a4 Ba1a3，a2a4Ca1a3，a2a4 Da1a3，a2a4解析：选B法一：构造不等式ln xx1(x0)，则a1a2a3a4ln(a1a2a3)a1a2a31，所以a4a1q31.由a11，得q0.若q1，则ln(a1a2a3)a1a2a3a4a1(1q)(1q2)0.又a1a2a3a1(1qq2)a11，所以ln(a1a2a3)0，矛盾因此1q0.所以a1a3a1(1q2)0，a2a4a1q(1q2)0，所以a1a3，a2a4.法二：因为exx1，a1a2a3a4ln(a1a2a3)，所以ea1a2a3a4a1a2a3a1a2a3a41，则a41，又a11，所以等比数列的公比q0.若q1，则a1a2a3a4a1(1q)(1q2)0，而a1a2a3a11，所以ln(a1a2a3)0，与ln(a1a2a3)a1a2a3a40矛盾，所以1q0，所以a1a3a1(1q2)0，a2a4a1q(1q2)0，所以a1a3，a2a4.2(2018江苏高考)已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn12an1成立的n的最小值为_解析：所有的正奇数和2n(nN*)按照从小到大的顺序排列构成an，在数列an中，25前面有16个正奇数，即a2125，a3826.当n1时，S1112a224，不符合题意；当n2时，S2312a336，不符合题意；当n3时，S3612a448，不符合题意；当n4时，S41012a560，不符合题意；当n26时，S264416250312a27516，不符合题意；当n27时，S274846254612a28540，符合题意故使得Sn12an1成立的n的最小值为27.答案：273(2018天津高考)设an是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(nN*)，bn是等差数列已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*)，求Tn；证明2(nN*)解：(1)设等比数列an的公比为q.由a11，a3a22，可得q2q20.由q0，可得q2，故an2n1.设等差数列bn的公差为d.由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16.联立解得b11，d1，故bnn.所以数列an的通项公式为an2n1，数列bn的通项公式为bnn.(2)由(1)，有Sn2n1，所以Tn(2k1)knn2n1n2.证明：因为，所以2.4(2018江苏高考)设an是首项为a1，公差为d的等差数列，bn是首项为b1，公比为q的等比数列(1)设a10，b11，q2，若|anbn|b1对n1,2,3,4均成立，求d的取值范围；(2)若a1b10，mN*，q(1， ，证明：存在dR，使得|anbn|b1对n2,3，m1均成立，并求d的取值范围(用b1，m，q表示)解：(1)由条件知an(n1)d，bn2n1.因为|anbn|b1对n1,2,3,4均成立，即|(n1)d2n1|1对n1,2,3,4均成立，所以11,1d3,32d5,73d9，解得d.所以d的取值范围为.(2)由条件知anb1(n1)d，bnb1qn1.若存在d，使得|anbn|b1(n2,3，m1)成立，即|b1(n1)db1qn1|b1(n2,3，m1)，即当n2,3，m1时，d满足b1db1.因为q(1，则1qn1qm2，从而b10，b10，对n2,3，m1均成立因此，取d0时，|anbn|b1对n2,3，m1均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n2,3，m1)当2nm时，.当1q2时，有qnqm2，从而n(qnqn1)qn20.因此，当2nm1时，数列单调递增，故数列的最大值为.设f(x)2x(1x)，当x0时，f(x)(ln 21xln 2)2x0，所以f(x)单调递减，从而f(x)f(0)1.当2nm时，2f1，因此，当2nm1时，数列单调递减，故数列的最小值为.因此d的取值范围为.命题点四数学归纳法1(2017浙江高考)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)证明：当nN*时，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.证明：(1)用数学归纳法证明：xn0.当n1时，x110.假设nk(k1，kN*)时，xk0，那么nk1时，若xk10，则0xkxk1ln(1xk1)0，矛盾，故xk10.因此xn0(nN*)所以xnxn1ln(1xn1)xn1.因此0xn1xn(nN*)(2)由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1)记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0)，f(x)ln(1x)0(x0)，所以函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*)(3)因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xn.由2xn1xn得20，所以22n12n2，故xn.综上，xn(nN*)2(2018江苏高考)设nN*，对1,2，n的一个排列i1i2in，如果当st时，有isit，则称(is，it)是排列i1i2in的一个逆序，排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对1,2,3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数(1)求f3(2)，f4(2)的值；(2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示)解：(1)记(abc)为排列abc的逆序数，对1,2,3的所有排列，有(123)0，(132)1，(213)1，(231)2，(312)2，(321)3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)2.对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置因此f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5.(2)对一般的n(n4)的情形，逆