排列组合二项复习.ppt

排列 组合 二项式定理,第九章,一.两个基本原理,加法原理：,做一件事，完成它可以有n类办法,第1类办法中有m1种不同的方法,第2类办法中有m2种不同的方法,第n类办法中有mn种不同的方法,则完成这件事共有Nm1+m2+mn种不同的办法,(不论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事),理解:,前提：做一件事完成它有n类办法,在这n类办法中选用任何一种方法都可完成这件事,完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的,一.两个基本原理,乘法原理：,做一件事完成它需要分n个歩骤：,做第1歩有m1种不同的方法,做第2歩有m2种不同的方法,做第n歩有mn种不同的方法,则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法,需要依次完成所有歩骤才能完成这件事，而完成每一个歩骤各自有若干方法，即各歩骤不可缺少,理解:,两个基本原理的区别：,一.两个基本原理,附加：,抽屉原理：,把n个不同物体放入m个抽屉里的放入方法有mn种,一.两个基本原理,二.排列及其应用,排列定义：,从n个不同元素中，任取m(nm)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(树图).,问：一个排列指什么？,排列数：,从n个不同元素中取出m(nm)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，,问：所有排列指什么？,排列数公式：,从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为,规定：,常用方法：,(1)直接法,(2)间接法：,处理“至多”或“至少”一类问题非常有效求其反面,(3)优选法：,部分元素要排在某些特殊位置时要优先予以考虑。,(4)排除法：,反面情形较为简单，可计算反面情形再从所有情形中减去.,(5)捆绑法：,部分元素要连排在一起时，可将它们排列后视为一个元素再和其它排列(相邻问题).,(6)插空法：,某些元素要求隔开或顺序有规定时，可先排其余元素(不相邻问题),例2.7人排成一排，其中甲乙两人不相邻的排 法有多少？,例1.已知集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,b4,b5,b6,若A中的不同元素对应到B中的不同象，则这样的映射个数其有( ) A. 3 B. 20 C . 64 D. 120,例3.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各自不同站法多少种？,(1).两名女生必须相邻而站. (2).4名男生互不相邻. (3).若4名男生身高都不等且男生按从高到底的一种顺序站. (4).老师不站中间，女生不站两端. (5).女生甲不站左端，女生乙不站右端.,例5.已知甲组有2n人，乙组有n+1人，设从甲组中选出3人分别参加数理化三科竞赛(每科限一人参加)的选法数是x，从乙组中选出4人站成一排照相的站法数是y，若x=2y,求n、x、y.,例4.由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数120个，把这些五位数从小到大的顺序排列起来。 (1).43251是第几个数? (2).写出第93个数?,二.组合及其应用,组合定义：,从n个不同元素中，任取m(nm)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(树图).,问：一个组合指什么？,组合数：,从n个不同元素中取出m(nm)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，,问：所有组合指什么？,组合数公式：,从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为,规定：,组合数的两个性质：,定理1：,定理2：,排列与组合关系：,例1.从4个不同元素a、b、c、d中取出3个元素的排列与组合关系：,组合,排列,例1.9人分往3处劳动，若 (1)甲处要4人，乙处要3人，丙处要2人，有几种分法. (2)一处要4人，一处要3人，一处要2人，有几种分法.,例2.从4名男生和5名女生中任选出3名，其中至少男女生各一名，则不同取法有 ( ) A.140 B.80 C.70 D.35,例3.在100件产品中，有4件次品，现任意抽出5件，其中至少有1件是次品的抽法有多少？,例4.从四面体顶点和各棱中点共10个点中任取4个不共面的点，不同取法有 ( ) A.150种 B.147种 C.144种 D.141种,例5.10名优秀学生名额分到6个班，每班至少一个名额的分法有多少种？,例6.11名学生中有5名只会英语，4名只会日语，2人既会英语又会日语，从中选出4人参加英语比赛，4人参加日语比赛有多少种不同的选 法？,例7.四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒 中则4个有一个是空盒的放法有多少种.,例8.从1、2、3、4、9九个数字中，选出3个不同的数字作为y=ax2+bx+c的系数且abc，这种系数有多少种,例9.(走路问题)(方法:数格子)如图在某城市中M、N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则M到N不同的走法共有： A.25 B.15 C.13 D.10,例10.(组成长方形问题)(方法:数线)如上图可组成多少个长方形.,M,N,三.二项式定理及其应用,一.二项式定理及展开式,项数 杨辉三角,二.二项式定理的通项,是第几项?,是第r+1项,二项式系数,三.二项式定理展开式的中间项,n为偶数时:中间项为第,n为奇数时:中间项为第,中间项的二项式系数最大,四.二项式系数 的性质,首先构建一个函数式,结论：,五.区别“二项式系数”与二项式展开式中“某项的系数”,例如,(1)求展开式：,六.二项式定理题型,(2)求证整除问题：,(3)证明恒等式,(4)求近似问题,组合数的两个性质的应