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文档简介

常见函数的导数,讨论：符号 各表示什么含义？ 两者有什么联系？,1、导函数,导函数公式：,导函数也简称导数。,2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：,2.算比值：,1.求增量：,3.取极限：,3.基本初等函数求导公式,1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数,课堂例题,4.导数的几何意义,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,(1)切线的斜率,（2）瞬时速度,（3）瞬时加速度,例4 质点运动方程是 ，求质点在 时的速度,解 ,答：质点在 时的速度是 ,例5 求曲线 在点 的切线方程,解： ， , 斜率,例6,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,例7:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.,解:设所求切线的切点在A(x0,y0).,因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02 .,又因为函数y=x2的导数为 所以过点A(x0,y0)的 切线的斜率为,由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又 应为 .,联立,解得:,故切点分别为(1,1)或(5,25).,当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;,当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10;,所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25.,练习:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.,由,得3x0+1=ax03,由得ax02=1,代入上式可得: 3x0+1=x0,x0=-1/2.,所以a(-1/2)3=1,a=4.,例7变式: （1）求曲线 过点(1,-2)处的切线方程.,（2）求曲线 过点(1,1)处的切线方程.,小结：,（1）点在曲线上的切线方程,（2）点在曲线外的切线方程,例8:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.,解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.,由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1
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