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文档简介

第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性（二）,一、曲线凹凸的定义,二、曲线凹凸的判定,三、曲线的拐点及其求法,四、小结 思考题,一、曲线凹凸的定义,【问题】单调性不能反映曲线的弯曲方 向；如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,【定义】,二、曲线凹凸的判定,【定理1】,【观察】,【证】,只证(1)如图,由拉氏中值定理可得,两式相减得,即,亦即,凹的,证完,【例1】,【解】,【注意到】,【注】定理中区间为非闭区间时仍然成立.,这样的点称为拐点.,三、曲线的拐点及其求法,1、【定义】,【注意】拐点处的切线必在拐点处穿过曲线（指拐点处可导时）.,2、拐点的求法,【分析】,连续曲线上凹凸的分界点( 内点)称为曲线的拐点.,所以要寻求拐点,只要找出f (x)符号发生变化的分界点即可.如果f (x)在区间I内具有二阶连续导数,则二阶导数值在由负变正或由正变负的过程中,必在分界点处的值为零.即,此外 二阶导数不存在的点也可能是拐点（如下图）,原点既是角点、又是拐点，不可导,可能的拐点,【总结】,【方法】,【求拐点的步骤】,设函数f (x)在x0的某去心邻域内二阶可导,且x0是可能的拐点,则,【例2】,【解】,拐点,拐点,【例3】,【解】,但 时,总有,凹的,故,此例说明了 的点 也可能不是拐点.,【结论】,【例4】,【解】,【注意】,【凹凸性应用】 由曲线的凹凸定义证明不等式,证明,教材P1529(3),【证】,令,则,于是由凹弧定义,有,即,得证,【例5】,四、小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定 f(x) 的符号.,拐点的求法：1.找出可能拐点；2.判别.,一阶导数反映曲线的单调性；二阶导数反映曲线的凹凸性,凹凸性的应用:证明不等式,可能拐点1. f(x)
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