20182019学年湖南省长沙市麓山国际实验学校高二（上）开学数学试卷（解析版）

2019-2019学年湖南省长沙市麓山国际实验学校高二（上）开学数学试卷一选择题（共15小题，每小题4分，总计60分）1（4分）已知集合U=0，1，2，3，A=0，1，2，B=2，3，则（UA）B（）A1，3B2，3C3D0，1，2，32（4分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）Ay=1，y=x0BCD3（4分）实数x，y满足x2+y2=1，若|x+2y+a|+|3x2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取值范围是（）A0，1B0，C，D，+）4（4分）已知x，yR，且xy0，则（）A0Bcosxcosy0C（）x（）y0Dlgx+lgy05（4分）现在有这么一列数：2， ，按照规律，横线中的数应为（）ABCD6（4分）已知等差数列an，bn的前n项和分别为，则=（）ABCD7（4分）已知向量=（1，1），=（2，2），=（k+1，k3），若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k满足的条件是（）Ak=16Bk=16Ck=11Dk=18（4分）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）ABCD9（4分）300化为弧度是（）ABCD10（4分）函数f（x）=的定义域为D，对于D内的任意x都有f（1）f（x）f（1）成立，则bc+f（3）的值为（）A6B0C5D以上答案均不正确11（4分）已知an=log（n+1）（n+2）（nN*），我们把使乘积a1a2an为整数的数n叫做“劣数”，则在n（1，2019）内的所有“劣数”的和为（）A1016B2018C2024D202612（4分）已知函数f（x）=e|x|+x22有两个零点x1，x2，则x1+x2=（）A1B0C1D313（4分）设 a=sin（cos1），b=cos（cos1），c=cos1，d=cos（sin1），则下列不等式正确的是（）AbcdaBbdcaCacdbDadcb14（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（ab），则a+b的最大值为（）A2B3CD415（4分）已O知是ABC的外心，则=（）A10B9C8D6二填空题（共5小题，每小题4分，总计20分）16（4分）已知集合A=x|x2+x+m=0，若AR=，则实数m的取值范围是 17（4分）关于x的方程4xk2x+k+3=0，只有一个实数解，则实数k的取值范围是 18（4分）已知向量=（1，a），=（1，b1）共线，其中a，b0则的最小值为 19（4分）已知an满足an=（n）2n（nN*），若an是递增数列，则实数的取值范围是 20（4分）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足ABAC，ADAC，ABAD，则SABC+SABD+SACD的最大值是 三解答题（共5小题，每小题14分，总计70分）21（14分）已知函数f（x）=cos（）+2cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将f（x）的图象左移个单位，再向上移1个单位得到g（x）的图象，试求g（x）在区间0，的值域22（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值23（14分）已知函数f（x）=log22xlog2x2（1）求方程f（x）3=0的解；（2）当时，求函数f（x）的最值，并求f（x）取最值时对应的x的值24（14分）已知圆C的方程为：x2+y2=4（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；（3）圆C上有一动点M（x0，y0），=（0，y0），若向量=+，求动点Q的轨迹方程25（14分）已知函数（1）设集合，B=x|x26x+p0，若AB，求实数p的取值范围；（2）若2tf（2t）+mf（t）0对于t1，2恒成立，求实数m的取值范围2019-2019学年湖南省长沙市麓山国际实验学校高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共15小题，每小题4分，总计60分）1【分析】根据题意，先求出A的补集UA，再由交集的意义，计算可得（UA）B，即可得答案【解答】解：根据题意，集合U=0，1，2，3，A=0，1，2，则UA=3，又由B=2，3，则（UA）B=3；故选：C【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义2【分析】分别求出四个答案中两个函数的定义域，然后判断是否一致，进而化简函数的解析式，再比较是否一致，根据两个函数的定义域和解析式均一致，则两函数表示同一函数，否则两函数不表示同一函数得到答案【解答】解：A：y=1，xR，y=x0=1，x0，两个函数的定义域不一致，故A错误；B：y=x，xR，y=x，xR，两个函数的定义域一致，故B正确；C：，（x1），（x1或x1），两函数的定义域不同，不为同一函数，故C错误；D：y=|x|，（xR），y=x，（x0），它们的定义域不同，不是同一函数，故D错误各组函数中，表示同一函数的是：B故选：B【点评】本题考查的知识点是判断两个函数是否表示同一函数，熟练掌握同一函数的定义，即两个函数的定义域和解析式均一致或两个函数的图象一致，是解答本题的关键，是中档题3【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cos，y=sin，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3x2y|的值与x，y均无关时a的取值范围即可【解答】解：实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cos，y=sin，则x+2y=cos+2sin=sin（+），其中=arctan2；x+2y，当a时，|x+2y+a|+|3x2y|=（x+2y+a）+（3x2y）=a+3，其值与x，y均无关；实数a的取范围是，+）故选：D【点评】本题考查了圆的方程以及绝对值的定义与应用问题，考查了转化思想方法，是中档题4【分析】x，yR，且xy0，可得：，cosx与cosy的大小关系不确定，（）x（）y，lgx+lgy与0的大小关系不确定，即可判断出结论【解答】解：x，yR，且xy0，则，cosx与cosy的大小关系不确定，（）x（）y，即（）x（）y0，lgx+lgy与0的大小关系不确定故选：C【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5【分析】由题意可得：分子为连续的质数，分母依次为首项为2、公比为2的等比数列，即可得出【解答】解：由题意可得：分子为连续的质数，分母依次为首项为2、公比为2的等比数列，故括号中的数应该为故选：B【点评】本题考查了数列通项公式的求法、观察法、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6【分析】等差数列的性质可得： =，即可得出【解答】解：由等差数列的性质可得： =故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7【分析】根据题意，由向量的坐标可得向量=（1，1），=（k+2，k4）的坐标，分析可得若A、B、C三点不能构成三角形，即A、B、C三点共线，则有，由向量平行的坐标表示公式可得2k=2，解可得k的值，即可得答案【解答】解：根据题意，向量，则=（1，1），=（k+2，k4），若A、B、C三点不能构成三角形，即A、B、C三点共线，则有，即有2+k=4k，解可得k=1，故选：D【点评】本题考查向量平行的坐标表示，注意A、B、C三点不能构成三角形即A、B、C三点共线8【分析】本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项【解答】解：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数，A中的函数不能输出，因为此函数没有零点；B中的函数可以输出，验证发现，函数是奇函数且当x=0时函数值为0，故B正确；C中的函数不能输出，因为不存在零点；D中的函数不能输出，因为它是偶函数，不是奇函数故选：B【点评】本题考查选择结构，解答本题的关键是根据框图得出函数所满足的性质，然后比对四个选项中的函数，对四个函数的性质比较了解也是判断出正确答案的关键9【分析】利用rad即可得出【解答】解：300=rad=故选：B【点评】本题考查了角度与弧度的互化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10【分析】由题意可得x2bxc0，由对于D内的任意x都有f（1）f（x）f（1）成立，可得f（1）为最大值，且1为二次函数y=x2bxc的对称轴，f（1）为最小值0，可得c，b的方程组，求得b，c，即可得到所求和【解答】解：函数f（x）=有意义，可得x2+bx+c0，即为x2bxc0，由对于D内的任意x都有f（1）f（x）f（1）成立，可得f（1）为最大值，f（1）为最小值0，则b=1，1b+c=0，解得b=2，c=3，f（x）=，bc+f（3）=6+=6，故选：A【点评】本题考查函数的定义域问题解法，注意运用偶次根式被开方式非负，以及函数的最值的定义，考查运算能力，属于中档题11【分析】a1a2an=log2（n+2）=k，可得2k=n+2n=2时，k=1；n=1022时，k=10；若k=11，则n=20482=20262019，不满足题意利用数列求和公式即可得出【解答】解：a1a2an=log2（n+2）=k，则2k=n+2n=2时，k=1；n=1022时，k=10；若k=11，则n=20482=20262019，不满足题意在n（1，2019）内的所有“劣数”的和=222+232+2102=18=2026故选：D【点评】本题考查了对数运算性质、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12【分析】根据函数的奇偶性判断答案即可【解答】解：由题意f（x）是偶函数，而x0时，f（x）=ex+x22，f（x）在0，+）递增，故f（x）在（，0）递减，故x1+x2=0，故选：B【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的奇偶性，是一道基础题13【分析】画出正弦函数线和余弦函数线，结合余弦函数的图象和性质，即可得到所求大小关系【解答】解：因为，如图，单位圆中的三角函数线，sin=MP，=POA，cos=OM，所以cossin，由0cos1sin11，可得cos（cos1）cos（sin1）cos1sin（cos1），即为bdca，故选：B【点评】本题考查三角函数线的运用，考查余弦函数的单调性，以及数形结合思想方法，属于中档题14【分析】根据三角形内角的取值范围和已知条件推知再根据求得，所以利用不等式的性质来求a+b的最大值【解答】解：，即由得，则a2+b2+ab=3，即，得（a+b）24a+b2故a+b的最大值为2故选：A【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查15【分析】由已知画出图形，展开，结合向量在向量方向上投影的概念求解【解答】解：如图，O是ABC的外心，且，则=故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上投影的概念，是中档题二填空题（共5小题，每小题4分，总计20分）16【分析】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题在解答时可先根据AR=，读出集合A在实数集当中没有元素，又集合A中的元素是由一元二次方程x2+x+m=0的根构成的，故问题可转化为一元二次方程x2+x+m=0在实数集上没有实根由0解得m的范围即可【解答】解：根据AR=，可知，集合A在实数集当中没有元素，又集合A中的元素是由一元二次方程x2+x+m=0的根构成的，故问题可转化为一元二次方程x2+x+m=0在实数集上没有实根由0，即=1241m0解得故答案为【点评】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题在解答的过程中要仔细体会集合运算的特点、几何元素的特点、方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用此题属于集运算与方程于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳17【分析】首先换元，令t=2x，则关于t方程 t2kt+k+3=0只有一个正根，根据根与系数的关系写出一元二次方程要满足的条件，得到结果【解答】解：设t=2x，t0x的方程4xk2x+k+3=0转化为t2kt+k+3=0，设f（t）=t2kt+k+3，原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，f（0）0，或=0，k3，或k=6故答案为（，3）6【点评】本题考查一元二次方程根存在的条件，考查换元的数学思想，本题解题的关键是注意换元过程中变量范围的改变本题是一个中档题目18【分析】由向量共线的坐标表示可得a+b=1，则=（a+b）（），展开后运用基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：向量=（1，a），=（1，b1）共线，其中a，b0，可得b1=a，即为a+b=1，则=（a+b）（）=4+4+2=4+2，当且仅当b=a时，上式取得等号则的最小值为4+2，故答案为：4+2【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题19【分析】由an是递增数列，可得an+1an，化简整理利用数列的单调性即可得出【解答】解：an是递增数列，an+1an，（n+1）2n+1（n）2n，化为：n+2，对nN*都成立3故答案为：（，3）【点评】本题考查了数列的通项公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20【分析】根据题意，以AB、AC、AD为长、宽、高作长方体，可得长方体与三棱锥DABC有相同的外接球从而算出长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16再利用基本不等式求最值即可算出SABC+SABD+SACD的最大值【解答】解：ABAC，ADAC，ABAD，以AB、AC、AD为长、宽、高，作长方体如图所示可得长方体的外接球就是三棱锥DABC的外接球球的半径为2，可得直径为4长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16SABC=ABAC，SABD=ABAD，SACD=ACADSABC+SABD+SACD=（ABAC+ABAD+ACAD）ABAC+ABAD+ACADAB2+AC2+AD2=16当且仅当AB=AC=AD时，等号成立当且仅当AB=AC=AD时，SABC+SABD+SACD的最大值为8故答案为：8【点评】本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值，着重考查了球内接多面体、长方体的性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题三解答题（共5小题，每小题14分，总计70分）21【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性、单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递减区间（2）利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间0，的值域【解答】解：（1）函数f（x）=cos（）+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），f（x）的最小正周期为=，由，求得，函数f（x）的单调递减区间为（2）将f（x）的图象左移个单位，得到y=2sin（2x+）=2sin（2x+）的图象，再向上平移1个单位得到g（x）=2sin（2x+）+1的图象在区间0，上，2x+，则sin（2x+）1， +1g（x）3，即函数f（x）的值域为+1，3【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题22【分析】（1）判断PAD为异面直线PA与BC所成角，在RtPDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）说明ADDC，通过ADPD，CDPD=D，证明AD平面PDC，然后证明平面PDC平面ABCD（3）在平面PDC中，过点P作PECD于E，连接EB说明PBE为直线PB与平面ABCD所成角，求出PE，PB，在RtPEB中，通过sinPBE=，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值【解答】（1）解：如图，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成角，在RtPDA中， =2，所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故ADDC，由于ADPD，CDPD=D，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD（3）解：在平面PDC中，过点P作PECD于E，连接EB由于平面PDC平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成角，在PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得PCD=30，在RtPEC中，PE=PCsin30=由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC在RtPCB中，PB=在RtPEB中，sinPBE=所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力23【分析】（1）由题意可得log22x2log2x3=0，从而求解方程的根；（2）利用换元法求函数的最值【解答】解：（1）f（x）3=0，log22x2log2x3=0，（log2x3）（log2x+1）=0，log2x=3或log2x=1，（2）设t=log2x，t1，2，f（x）=t22t=（t1）21，当t=1，即x=2时，f（x）min=1，当t=1，即x=时，f（x）max=3【点评】本题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，属于基础题24【分析】（1）分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，直线x=2满足题意；当k存在时，变形出l方程，利用圆心到l的距离d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时l方程，综上，得到满足题意直线l的方程；（2）分两种情况考虑：当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，直线l与圆的两个交点距离为2，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y2=k（x1），求出圆心到直线l的距离d=1，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线l的方程；（3）设Q（x，y），表示出，代入已知等式中化简得到x=x0，y=2y0，代入圆方程变形即可得到Q