高等数学课件1.1函数.ppt

第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数、极限与连续,第一章,1.1.2 函数及其图形,1.1.1 实数与实数集合,1.1,函数,1.1.3 反函数、复合函数与初等函数,1.1.1 实数与实数集合,一. 几类常用数集,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,定义,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集合 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集合 .,表示法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,整数集合,例：有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,集合之间的关系及运算,定义2 .,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束 .,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,无限区间,点 a 的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,半开区间,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,二. 区间与邻域,1.1.2、函数及其图象,一. 函数的概念,定义域,定义1.1.1. 设非空数集,按照一定法则 f,变量 y 有确定的值和它对应 , 则称 y 是 x 的函数 ,记为,f ( D ) 称为值域,自变量,因变量,(对应规则),(定义域),定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图象法,、列表法,使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.,例如, 绝对值函数,定义域,值 域,例1.1.1. 求函数,解:,的定义域.,要使该函数有意义，必须,即,故该函数的定义域为,二 函数的图象,例1.1.2 符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,该函数的定义域为,值域为,例1.1.3 取整函数：取不超过x的最大整数， x为任意实数。,当,该函数的定义域为,值域为,分段函数,函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式,例1.1.4. 已知函数,求,及,解:,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,三. 函数的几种特性,设函数,且有区间,1 有界性,有,称,(说明: 还可定义有上界、有下界、无界),是在 I 上的,有界函数.,有,称,是在 I 上的有上界.,有,称,是在 I 上的有下界.,用函数图象表示为,无界函数图象举例,函数,在区间,内无界。,函数,在区间,内无界。,2 单调性,时,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,例1.1.5,证明,且,则,所以,故该函数在指定区间内是单调增加的。,3 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,例如,偶函数,双曲余弦,记,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,例1.1.6,证明,则,所以,该函数是非奇非偶函数. （P16，习题7 的结论）,4 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,四 几类简单函数及其图形（图形见教材P9-11）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,1.1.3. 反函数与复合函数,一 反函数,定义1.1.2 设函数,的定义域为D,如果对任何,时，,而在区间,例 函数,当,则称函数,在D上是一对一的。,在区间,上不是一对一的，,上是一对一的。,有,定义1.1.3 设函数,在其定义域D上是一对一的,其值域为,如果把y作为自变量，,且满足关系式,则由上述关系所确定的函数,x作为函数，,则对于任意,在,上可以唯一确定,x与y对应，,称为,D上的反函数.,在,习惯上记作,称为 y = f ( x ) 的反函数 .,则由上述关系式可确定一个新函数,函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,1. 反正弦函数,正弦函数,的图象,对于一个y，对应无穷多个x，即正弦函数不是一对一的.,为了得到正弦函数的反函数，我们限定,则正弦函数是单调的，,一定是一对一的.,正弦函数,在,的反函数记为,它的定义域为,值域为,又称,为反正弦函数的,主值范围。,则,余弦函数,在,的反函数记为,它的定义域为,值域为,又称,为,2. 反余弦函数,与正弦函数相同的原因，同理定义反余弦函数,的主值范围。,反余弦,正切函数,在,的反函数记为,它的定义域为,值域为,又称,3. 反正切函数,为反正切的主值范围。,例1.1.7 计算下列各式,二 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,三. 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数：,指数函数：,对数函数：,三角函数：,反三角函数：,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,例如 ：,都为初等函数