物体物理第五章晶体中的电子状态5.3-2.ppt

能量算符和平移算符具有共同的本征函数,周期势场模型下的晶体中，电子波函数为：,周期势场中的电子的运动状态：,平移算符的本征值是波矢k的周期函数:k=2/a,平移算符的本征值及其物理意义,原胞之间电子波函数位相的变化,（2）,平移算符本征值量子数,简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相差不同,（1）,简约波矢改变一个倒格子矢量,平移算符的本征值,（3）,近似条件：周期势场随位置的变化很小，引起的电子势能比动能小，这种情况下采取“准自由电子”近似法，用微扰来处理。,5.3准自由电子近似法,1. 零级近似,零级近似的波动方程：,一. 一维情形（非简并态）,零级近似的解为恒定场V中的自由粒子的解，即本征函数和本征值：,L=Na，N为原胞数,k为本征值的量子数,零级近似下的解为自由电子，故称为近自由电子近似,满足归一化条件：,2、微扰计算,根据微扰理论：,本征值的一级修正：,本征值的二级修正：,求解矩阵元,因为V(x)晶格的周期性，所以对整个晶格的积分可以化为对每个原胞积分的和。,第n个原胞：,=0,按原胞划分:,对不同元胞n引入积分变数,(1),(2),一级修正得到的电子函数表现出了具有类似于布洛赫函数的形式：由自由粒子的波函数乘上具有晶格周期性的函数,考虑微扰后的波函数(k-k=n2/a),当x变化a的整数倍的时候，波函数的值不变,受微扰市场的影响，波函数 中掺入了满足 的所有零级近似下的波函数 ，掺 入量的大小由k和k对应的能量之差决定，能量差越小，掺入的量越大，即k和k的能级越近，两个波函数越互相影响。 即：此时矩阵元存在，且k和k的能量不相等。,考虑微扰后的能量（k-k=n2/a）：,但是，当,利用非简并态的微扰理论得到的能量二级修正在n/a附近发散，此时应采用简并微扰。,由于修正项一般较小，所以色散关系接近抛物线形式,总结上述， 在非简并情况下，利用一般微扰论得到，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出：,若要两个表达式有意义，级数应该收敛，那么：,说明： （1）|Vn|=|要小，即微扰矩阵元要小； （2）|EkEk,|要大，即能级间距要宽。,3.简并微扰计算 （ k=n/a ， k=-n/a ）,将能量简并的各状态线性组合构成新波函数作为零级近似0，代入波动方程(k和k)：,满足本征方程：,假设 是简并的，那么属于 的本征值为 的本征函数为n个归一化的本征函数:,其中取：,带入波动方程：,分别乘以 和 并积分，得到下式：,a，b有解的条件是：,离 较远,(1),将能量 按 展开：,只考虑了在微扰中简并态之间的相互影响,使原来能量较高的 态能量提高，原来能量较低的 态能量降低。但修正项较小，所以能量改变不明显，能量曲线接近抛物线。,当 时,将 按 展开：,(2)不能取两者之间的值。 其能量不连续间隔为：,(1)电子的能量在布里渊 区界 从 跳变 到 。,当kn/a，能量曲线断开，能级间发生排斥作用，产生突变，使准连续的能级分裂成一系列的带，即能带。,4.布里渊区、能带和能隙,b.在准自由电子模型中，由于周期势场的微扰作用，波函数具有布洛赫函数的形式，能量有所修正：,a.在零级近似下电子被看成自由粒子，能量与波矢呈抛物线型 ，而波函数则是平面波形式。,当k不在n/a附近，能量修正较小；,当k在n/a附近，能量修正值较大；,c.各能带之间的间隔为“带隙”或“能隙”或“禁带”，能隙大小为2Vn，在能隙中不存在能级，每个带大小为一个倒格子原胞长度即2/a，包含等于晶体原胞数目N的状态。,d.每一个能量连续区域称为布里渊区。当N很大的时候，k取值密集，可以看成能量准连续。,V(x)变化越剧烈，Vn越大，能隙越宽。,简单验证：,每一个能带所占的k空间为一个布里渊区：,每一个能带中k取值可能数,考虑自旋,e.每个能带包含2N个量子态（考虑自旋）,的取值：,相邻k取值间隔：,每一个能带中的状态数：N,考虑电子波波矢的周期性，将各个布里渊区平移 ，合并到第一布里渊区，得到简约布里渊区；将简约布里渊区图形按周期展开，得到周期布里渊区；,二. 三维情形,1. 零级近似,其中：,2. 微扰计算,有能量跳跃：,从原点出发与Gn的连线的垂直平分面方程,3. 布里渊区和能带交叠,a.布里渊区在 空间，原点 与所有倒格点连线的垂直平分 面将 空间分割成的各个区域；,在布里渊区内，能量准连续变化；,每个布里渊区的大小为：,每个布里渊区(对应一个能带)所包含电子态数：2N,在布里渊区边界处，能量发生突变；,以二维作图为例，画出简单立方的二维布里渊区分布,每个布里渊区的体积相同,等于倒空间一个原胞的体积,原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体,简单立方的第一布里渊区,三维情况：,原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体,体心立方晶体的第一布里渊区,原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体 八个面是正