数学教学中要关注数学思想方法的渗透跟生成.docx

数学教学中要关注数学思想方法的渗透与生成数学教学有两条线，一条是明线即数学知识的教学，一条是暗线即数学思想方法的教学对于明线，大多数的数学教师都谙熟在心，而对于暗线许多教师并没有给予足够的重视数学思想方法是数学的精髓，它能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体，学生学习并且领悟了数学思想方法就有利于学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以极大地提高学习质量和数学能力掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习和其它学科的学习，乃至对学生的终身发展，都具有十分重要的意义那么，什么是数学思想？数学方法？数学思想方法？又如何在教学中有机地渗透数学思想方法？一、数学思想方法的界定所谓“数学思想”，是指人们对于数学理论和内容的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它支配着数学实践活动，在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想由于数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是以数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识，因此是一种隐性的知识内容，要通过反复体验才能领悟和运用所谓“数学方法”是指在数学地提出问题、解决问题的过程中，所采用的各种方式、手段、途径等，是对变换数学形式的认识，同样要通过数学内容才能反映出来，并且要在解决问题的不断实践中才能理解和掌握数学方法在实际运用时往往具有过程性和层次性的特点数学思想与数学方法既有联系又有区别：数学思想是数学方法的灵魂，是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是数学思想的外在表现形式，是数学思想的具体反映，数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用因此，人们通常将数学思想与数学方法看成一个整体概念数学思想方法二、几种主要数学思想方法的含义一般认为，中学数学涉及的数学思想主要有：函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想性、特殊与一般思想、有限与无限思想、或然与必然思想等数学基本方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等1分类与整合思想所谓“分类与整合”，就是在解答某些数学问题时，可能会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解当问题中涉及到的数学定理、公式、法则、运算性质有范围或者条件限制，或是分类给出时，就要进行分类讨论在进行分类讨论之前，首先要明确的是讨论对象，关键是明确分类的标准2函数与方程思想函数思想简单地说就是用函数和变量来思考问题，其实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的图象和有关性质，使问题得到解决方程思想是将所求的量设为未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题目中隐含的等量关系 ，列方程（组），通过解方程（组）或对方程进行研究，以求问题的解决函数与方程是相互联系的，在一定的条件下，它们可以相互转化函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征，运用函数解决问题，重在对问题中的变量的动态研究，从变量的运动、变化、联系和发展的角度打开思路；而方程思想则是动中求静，研究运动中的等量关系函数思想与方程思想常常是相辅相成的很多问题需要用函数来解决，很多函数又需要方程来支援，这就形成了重要的函数与方程思想3数形结合思想“数形结合思想”就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想，包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面运用数形结合的思想，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，产生事半功倍的效果运用数形结合研究数学问题，可以加强知识的横向联系和综合运用，还有助于沟通代数与几何的联系实现数形结合，通常有以下等途径：实数与数轴上的点的对应关系；有序数组与坐标平面（空间）上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数、向量、复数等；所给的等式代数式的结构含有明显的几何意义4化归与转化思想“化归与转化”就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使原问题得到解决的一种思想方法通常是将生疏、复杂、抽象、含糊的问题，转化为熟悉、简单、直观、明朗的问题转化与化归思想是解决数学问题时经常使用的基本思想方法，其本质含义是：在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的5特殊与一般思想人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物物过程是由一般到特殊的认识过程这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究中的特殊与一般思想在数学学习过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过归纳总结得出结论，经过证明后，又利用它们来解决相关的数学问题，这里就包括了从特殊到一般再由一般到特殊的认识过程在数学学习中经常使用归纳、演绎等方法分析、探索数学问题中的规律和结论，这些方法就是特殊与一般思想的集中体现6有限与无限思想有限与无限，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并可以积累一定的经验而对无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究转化成对有限的研究，就成了解决无限问题的必经之路反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化为无限问题来解决这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限思想导数的几何意义、双曲线的渐近线等知识都渗透着有限与无限的思想其实，数学中变量的变化趋势就是无限变化和有限变化之间的关系7必然与或然思想世间万物千姿百态、千变万化，人们对世界的了解、对事物的认识是从不同侧面进行的，人们发现事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的或随机的随机现象有两个特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果未必相同，以至于在试验之前不能预料试验的结果，即结果的出现与否有偶然性，也称为或然性；二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近，即结果出现的机会大小有规律性必然性概率研究随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中体现的数学思想就是必然与或然思想整体思想也是一种常用的数学思想方法所谓“整体思想”就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上、整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法这些数学思想方法并非单独起作用例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，就含有有限与无限的转化思想三、在教学中渗透数学思想方法的案例分析数学知识可分为两个层次：一个称为表层知识，包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内容；另一个称为深层知识，主要指数学思想和方法，它潜藏于表层知识之中，是数学的精髓表层知识是深层知识的基础，具有较强的操作性，学生只有通过对教材的学习，在掌握与理解了一定的表层知识后，才能进一步学习和领悟相关的深层知识数学思想方法以数学知识为载体，它支撑和统率着表层知识简而言之，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中 1在知识的发生、发展的过程中渗透数学思想方法在日常教学中，常听见教师抱怨，学生只知其一不知其二，更不会将“1”生成为“1+1”等实际上，形成这一现状的责任不全在学生身上，主要在教师身上，即教师的教学存在问题，具体表现为教师平时的教学急于求成，重结果，轻过程，重“知识+方法”的教学，轻数学思想的渗透与生成其实，无论是有意还是无意，把数学思想边缘化的教学都是舍本逐末的做法，不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，没有数学思想的滋润，学生的数学认识水平只能永远停留在一个初级阶段，难以提高教师只有在讲授概念、性质、公式的过程中不断地渗透相关的数学思想方法，才能让学生在掌握表层知识的同时，又能领悟到深层知识，从而使学生思维产生质的飞跃在教学过程中着力引导学生主动参与结论的探索、发现、推导过程，搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法普通高中数学课程标准在其“课程基本理念”中也明确指出：“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”由此，我们明白了一个道理，即在数学教学活动中，我们不仅要把表层知识讲清讲透，而且应当把蕴涵于表层知识之中的深层知识充分地挖掘出来，提炼升华，经深入浅出的教学设计，然后经过课堂教学中的师生互动，使学生在反复的体验中将数学思想方法内化为稳定的心理认知案例1函数单调性知识中蕴涵的数学思想方法学生对新知识的认知路线通常是：从不知到知，从知到会，从会到通，从通到用，从简单应用到自如应用的过程按照这样的认知路线，我们在教学函数单调性知识的时候，首先引导学生从一次函数和二次函数及反比例函数等函数的图象中直观感知随着自量增大，函数值也增大（或减小）的属性，这里蕴涵了数形结合思想以形助数：刻画出图象上升（下降）与随着自量增大，函数值也增大（减小）的对应关系；其次经过归纳、综合、抽象概括等思维活动，建立起“对给定区间I，都有”的函数的单调性意义，此时，体现了从特殊到一般的数学思想方法；三是建立单调函数的性质，即知道自变量大小可以得函数值的大小，反之也成立，这体现了化归与转化思想；四是在遇到函数时能有意识地应用单调性研究函数，毫无疑问，这种应用本身就蕴涵着一般到特殊思想2在数学知识的应用过程中参透数学思想方法数学思想方法是解题过程的重要支撑，不仅是解题过程的“风向标”，更是解题过程的“指南针”，很多时候能起到“投石问路”的作用，了解并熟练地运用数学思想方法，能够缩短解题思路的探寻时间，提高数学解题的效率如果没有数学思想方法作为指引，解题过程就会像一个泥潭，让学生无法透过现象看本质经常听见一些学生抱怨，课上听老师讲解题，听得明明白白，可课后做习题时，只要条件稍有变化，就会不知所措，他们总是停留在套型解题的模仿水平上，很难形成独立解决问题的能力，更谈不上创新能力的形成问题的症结正是“听”字，学生学数学光靠听，没有自己的积极思维活动，也就无法真实体验与领悟数学思想方法，缺乏了数字思想方法的熏陶，怎么能掌握呢？所以数学不是“听”会的因此，数学知识的应用教学，就应当把最大的教学精力用在启发学生怎样去想，怎样想到，到哪里去找解题的思路上，置数学思想方法的运用于解题的中心位置，使学生在反复的体验中领悟数学思想方法的解题导向功能案例2一道高考题中蕴涵的数学思想方法试题回放 （2012年高考福建卷理15）对于实数和，定义运算“*”：设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是 对于这样一道题，很多同学一看就发懵，不知如何寻找解题突破口其实，当我们逐渐地抽丝剥茧，去除“外衣”，“真相”就会呈现在眼前首先，方程中的是什么呢？这时注意到的表达式是以给定的运算来进行定义的若要确定，就要根据定义的运算规则进行计算由于给定的运算结果随的大小关系的变化而不同，这里便碰到了常用的数学思想方法分类与整合思想：本题中，运算结果的不确定性是由和的大小关系引起的，因此，这里所要讨论的对象就是和的大小关系在的表达式中，对应的是，对应的是于是可作分类讨论：若，即，则；若，即，则从而得知，这是一个分段函数，较之题目通过抽象运算给出的表达式，该表达式更为具体和熟悉可以说，经过了分类讨论，揭开了本题的第一层神秘面纱既然知道了的真实身份，接下来就进入了解方程的步骤如何解分段函数所对应的方程呢？思路一、根据分段函数的特点，我们可以继续运用分类与整合思想来分析：（1）当时，方程化为，即，且可知此方程有非正实数根，设其两实根分别为，则，从而得知，而，不合题意舍去；（2）当时，方程化为，即，且可知此方程要有两个不相等的正根，于是，即综上得，其中至此，我们又剥去了第二层神秘面纱，让我们看到了“庐山真面目”，即问题的实质是转化为：求函数（）的值域 思路二、当时，方程可化为 依题意，方程有非正实根令，因为抛物线开口向上，且对称轴，所以方程有非正实数根，即（如右下图所示），由此可求得两零点：和（舍去）；当时，方程可化为 依题意，方程有两个不等正根令，因为抛物线开口向上，且对称轴，所以方程有两个不等正根，即，此时根据韦达定理有（图略）