高等数学上册第6章定积分应用习题答案吴赣昌人民大学出版社高数理工类.pdf

第六章定积分的应用第六章定积分的应用 内容概要内容概要 名 称 主要内容 定 积 分 的 元 素 法 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（ b a dxxfA)(）三步骤的方法： 1、将 iii xfA)(记为dxxfdA)( 2、将 n i 1 0 lim 写为 b a 平 面 图 形 的 面 积 直角坐标系 X-型 Y-型 )()( : 21 xfyxf bxa DA b a dxxfxfA)()( 12 )()( : 21 ygxyg dyc DA d c dyygygA)()( 12 极坐标系 )(0 : rr DA drA)( 2 2 1 体 积 旋转体体积 已知平行截面面积的立体体积 )(0 : xfy bxa DA 绕 x 轴旋转： dxxfV b a )( 2 已知垂直于x轴 的平面截立体所得 截面面积为)(xA, 立 体 又 被 夹 于 ax 和bx 两 平面间，则： b a dxxAV)( 已知垂直于 y 轴的 平面截立体所得截 面面积为)(yA, 立 体 又 被 夹 于 cy 和dy 两平面间，则： d c dyyAV)( 绕 y 轴旋转： dxxxfV b a )(2 )(0 : ygx dyc DA 绕 y 轴旋转： dyygV d c )( 2 平 面 曲 线 的 弧 长 直角坐标 参数方程 极坐标 L：)(xfy ，,bax dxyds 2 1； b a dxys 2 1 L：)( )( )( t ty tx dtttds)()( 22 dttts )()( 22 L：)(rr ，； drrds)()( 22 ； drrs )()( 22 物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力 x 0 y 1 图 6-2-1 yx yx D x 0 y / 2 / 2 图 6-2-2 sinyx 1 D 课后习题全解课后习题全解 习题习题 6 6- -2 2 1求由曲线xy 与直线xy 所围图形的面积。 知识点知识点：平面图形的面积 思路思路：由于所围图形无论表达为 X-型还是 Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解解： 见图 6-2-1 所围区域 D 表达为 X-型： xyx x10 ， （或 D 表达为 Y-型： yxy y 2 10 ） 1 0 )(dxxxSD 6 1 ) 2 1 3 2 ( 1 0 2 2 3 xx （ 1 0 2 6 1 )(dyyySD） 2求在区间0，/2上，曲线xysin与直线0x、1y所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形无论表达为 X-型还是 Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解解：见图 6-2-2 x 0 y 4 图 6-2-3 2 yx 2 2 2 2 4yx D 所围区域 D 表达为 X-型： 1sin 2 0 yx x ， （或 D 表达为 Y-型： yx y arcsin0 10 ） 1 2 )cos()sin1 ( 2 0 2 0 xxdxxSD （ 1 2 arcsin 1 0 ydySD） 3求由曲线xy 2 与4 2 xy所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形表达为 Y-型时解法较简单，所以用 Y-型做 解解：见图 6-2-3 两条曲线的交点： 2 2 4 2 2 y x xy xy ， 所围区域 D 表达为 Y-型： 22 4 22 yxy y ， 2 3 16 ) 3 2 4()4( 2 2 3 2 2 22 yydyyySD （由于图形关于 X 轴对称，所以也可以解为： 2 3 16 ) 3 2 4(2)4(2 2 0 3 2 0 22 yydyyySD） 4求由曲线 2 xy 、 2 4xy 、及直线1y所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：所围图形关于 Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为 Y-型时，解法较简单 解解：见图 6-2-4 x 0 y 1 图 6-2-5 yx 1 /yx 2 1 D 第一象限所围区域 1 D表达为 Y-型： yxy y 2 10 ， 3 4 3 2 2)2(22 1 0 2 3 1 0 1 ydyyySS DD （若用 X-型做，则第一象限内所围区域 1 D ba DD ，其中 a D： 2 2 4 10 xy x x ， b D： 1 4 21 2 y x x ； 1 22 12 2 01 4 22()(1) 443 DD xx SSxdxdx ） 5求由曲线 x y 1 与直线xy 及2x所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形表达为 X-型,解法较简单，所以用 X-型做 解解：见图 6-2-5 两条曲线 x y 1 和xy 的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2x分别交于 x 0 y 1 图 6-2-4 22 4yxyx 1 2 D 1 D x 0 y 图 6-2-6 2 2yx 0 2 1 D ) 2 1 , 2(、2) , 2( 所围区域D表达为 X-型： xy x x 1 21 ， 2 2 2 1 1 113 ()(ln)ln2 22 D Sxdxxx x 6抛物线xy2 2 分圆8 22 yx的面积为两部分，求这两部分的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：所围图形关于 X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为 Y-型时，解法较简单 解解：见图 6-2-6，设阴影部分的面积为 1 D S，剩余面积为 2 D S 两条曲线xy2 2 、8 22 yx的交于(2, 2)（舍去4x的解）， 所围区域 1 D表达为 Y-型： 2 2 8 2 22 yx y y ；又图形关于 x 轴对称， 3 4 2) 3 4 2(2) 6 8(2) 2 8(2 2 0 3 2 0 2 2 0 2 2 1 y ydy y ySD （其中2 2 2cos1 8cos22cos228 4 0 4 0 sin22 2 0 2 dt t tdttdyy ty ） 3 4 6 3 4 28 2 D S 7求由曲线 x ey 、 x ey 与直线1x所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形表达为 X-型时，解法较简单，所以用 X-型做 x y xyln ayln byln 0 aln 1 bln 图 6-2-8 解解：见图 6-2-7 两条曲线 x ey 和 x ey 的交点为（0，1），又这两条线和1x分别交于 ) , 1 (e和) , 1 ( 1 e 所围区域D表达为 X-型： xx eye x10 ， 2)()( 1 1 0 1 0 eeeedxeeS xxxx D 8求由曲线xyln与直线ayln及byln所围图形的面积)0( ab 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：由于所围图形表达为 Y-型时，解法较简单，所以用 Y-型做 解解：见图 6-2-8 在xln的定义域范围内所围区域D： y ex bya 0 lnln ， abedyeS b a y b a y D ln ln ln ln 9求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于 y 轴，且 x 0 y 1 图 6-2-7 x ye 1 x ye D x y x ey 0 图 6-2-10 12 D D yex 向下弯；（2）它与 x 轴所围图形面积最小 知识点知识点：平面图形面积和求最值 思路思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量 解解：由于抛物线的对称轴平行于 y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bxaxy 2 ，（由于下 弯，所以0a），将（1，2）代入bxaxy 2 ，得到2ba，因此xaaxy)2( 2 该抛物线和 X 轴的交点为0x和 a a x 2 ， 所围区域D： 2 2 0 0(2) a x a yaxa x 2 3 2 0 23 2 0 2 6 )2( ) 2 2 3 ()2( a a x a x a dxxaaxS a a a a D )4()2( 6 1 )2()2()2( 3 6 1 )( 233322 aaaaaaaaSD 得到唯一极值点：4a， 所求抛物线为： xxy64 2 10求位于曲线 x ey 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积 知识点知识点：切线方程和平面图形面积 思路思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解解： x ey x ey ，在任一点 0 xx 处的切线方程为)( 0 00 xxeey xx 而过（0，0）的切线方程就为：) 1( xeey，即exy 所求图形区域为 21 DDD,见图 6-2-10 X-型下的 1 D： x ey x 0 0 ， 2 D： x eyex x10 0 r a 图 6-1-11 a2 图 6-2-12 3sinar 0 r 6/ 1 D 222 )( 1 0 2 11 0 0 ee ex e edxexedxeS xxx D 11求由曲线cos2ar 所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知该曲线是半径为a、圆心（0 , a）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为 2 a， 也可选择极坐标求面积的方法做。 解解：作图 6-1-11 知所求图形区域D： cos20 22 ar 2 2 2 2 2 2 2 )2sin 2 1 2 1 (2)cos2( 2 1 aadaSD 12求三叶玫瑰线3sinar 的面积S 知识点知识点：平面图形面积 思路思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成 图 6-2-12 中所画是三叶玫瑰中的一叶， 而一叶图形又关于 6 对称， 因此选择其中一叶的一半区域 1 D求其面积 解解： 1 D： 3cos0 6 0 ar 2 6 0 2 6 0 2 4 1 )6sin 6 1 2 1 (3)3cos( 2 1 66 1 aadaSS DD 13求由曲线)cos2(2 ar所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域 1 D求其面积 图 6-2-13 )cos2(2 ar 0 r a6 a4 a3 1 D 图 6-2-14 aer r a 2/ ae ae ae D 0 解解： 1 D： )cos2(20 0 ar 1 222 0 0 1411 222 (2cos3 )44( sin3sin6 )18 23212 DD SSadaa 14求对数螺线 ae)(及射线所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知该曲线围成的图形是由 ae，从到一段曲线及射线所围，由此可 确定、的范围 解解：所围区域D： ae0 )( 42 1 2 )( 2 1 22 2 2 2 2 ee a e a daeSD 15求由曲线cos3r及cos1r所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于极 图 6-2-15 cos3r 0 r cos1r 3/2 1 D 3/ 图 6-2-16 sin2r 0 r 2cos 2 r 1 D 4/ 6/ 轴对称，设在（0， 2 ）内的曲线和极轴围成的半个D为 1 D区域 解解：两条曲线cos3r、cos1r交于 3 处， 因此分割区域 ba DDD 1 ，其中 a D： cos10 3 0 r ， b D： cos30 23 r 1 22 32 0 3 32 0 3 11 22(1 cos )(3cos ) 22 319 115 2(2sinsin2 )(sin2) 2342 2644 DD SSdd 16求由曲线sin2r及2cos 2 r所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分 组成，其中一部分为两图形重叠部分D， 而D又关于射线 2 对称， 设两条曲线 在（0， 2 ）围成的半个D为 1 D区域 x 0 y a2 图 6-2-17 D )cos1 ( )sin( tay ttax x 0 y 1 图 6-3-1-1 yx D 4 解解：两条曲线sin2r、2cos 2 r交于 6 及 6 5 因此分割区域 ba DDD 1 ，其中 a D： sin20 6 0 r ， b D： 2cos0 26 r 2 3 6 )2sin 4 1 2sin 4 1 62 1 (2 2cos 2 1 )sin2( 2 1 22 2 6 6 0 2 6 6 0 2 1 ddSS DD （和书后答案不同） 17求由摆线)sin(ttax，)cos1 (tay)20( t及 x 轴所围图形的面积 知识点知识点：平面图形面积 思路思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的 x、y变化范围，先求出直角坐标系下积分 表达式，再将积分变量代换成t 解解：所围区域D： )(0 20 xyy ax ， （)(xyy 为摆线） 2 0 ( ) a D Sy x dx ， 作代换)sin(ttax， 则 22 2 0 22 2 0 32 2 3 )cos1 ( )sin()cos1 (aadttattadtaSD 习题习题 6 6- -3 3 1 求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体体积： (1)曲线xy 与直线1x、4x、0y所围成的图形； 知识点知识点：旋转体体积 思路思路： 作出平面图形 （或求出该平面区域的x、y范围） ， 代入相应的公式。 解解：平面图形 D： xy x 0 41 ，见图 6-3-1-1 x 0 y / 2 / 2 图 6-3-1-2 sinyx 1 D 2 D 绕 x 轴旋转产生的立体体积： 2 15 )( 2 4 1 dxxV； 绕 y 轴旋转产生的立体体积： 5 124 2 4 1 dxxxV(和书上答案不同) (2)在区间 2 , 0 上，曲线xysin与直线 2 x、0y所围成的图形； 解解： 平面图形 D： xy x sin0 2 0 ， 见图 6-3-1-2， 绕 x 轴旋转产生的立体体积： 22 2 0 4 1 )(sin dxxV； 绕 y 轴旋转产生的立体体积： 方法一方法一： 2 0 2 0 cos)(2sin2 xdxdxxxV 2)sincos(2 2 0 2 0 xxx 方法二方法二：V可看作由 1 D（矩形 2 0 x，10 y）绕 y 轴旋转而成的体积 1 V，减去由 2 D （10 y，yxarcsin0）绕 y 轴旋转而成的立体体积 2 V所得 2)(arcsin) 2 ( 1 0 22 dyyV (3)曲线 3 xy 与直线2x、0y所围成的图形。 解解：平面图形 D： 3 0 20 xy x ，绕 x 轴旋转产生的立体体积： 7 128 )( 2 0 23 dxxV； 绕 y 轴旋转产生的立体体积： 5 64 2 2 0 3 dxxxV （绕 y 轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法） 2求由曲线 2 xy 、 2 yx 所围成的图形绕 y 轴旋转一周所产生的旋转体体积。 知识点知识点：旋转体体积 思路思路：该平面图形绕 y 轴旋转而成体积V可看作 1 D： yx y 0 10 绕 y 轴旋转而成的体积 1 V，减去 2 D： 2 0 10 yx y 绕 y 轴旋转而成的立体体积 2 V所得，见图 6-3-2 0 y a 图 6-3-4 a a x achy D x 解解： 10 3 )()( 1 0 222 1 0 21 dyydyyVVV 3求由曲线xysin（ x0）与 x 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转一周所产生的旋转体体积。 知识点知识点：旋转体体积 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 解解：平面图形 D： xy x sin0 0 ，绕 y 轴旋转产生的立体体积： 2 0 2sin2 dxxxV （绕 y 轴旋转产生的立体体积如同 1（2）也有两种计算法） 4求由曲线 a x achy ，0x，ax ，0y（0a）所围成的图形绕 x 轴旋转而成的立 体体积。 知识点知识点：旋转体体积 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范 围），代入相应的公式 解解：平面图形 D： a x achy ax 0 0 ，见图 6-3-4， 绕 x 轴旋转产生的立体体积： )22( 4 ) 2 2 4 ( 2 1 2 )( 3 0 2 0 22 0 sh aa a x sh a adx a x ch adx a x chaV a aa 5求摆线)sin(ttax，)cos1 (tay的一拱与0y所围图形绕直线ay2轴旋转而 x 0 y 1 图 6-3-2 2 yx 1 2 xy 1 D 2 D x y a2 图 6-3-5 )cos1 ( )sin( tay ttax a2 D 2 D 0 成的旋转体体积。 知识点知识点：旋转体体积 思路思路： 若设所围区域为D， 则该平面图形绕ay2旋转而成体积V可看作矩形区域 1 D： ay x 20 20 绕ay2旋转而成的体积 1 V，减去区域 2 D： 02 ( )2 x y xya 绕ay2旋转而成的立体体积 2 V所 得， （其中，( )y x表示摆线的函数式， 见图 6-3-5 解解： a dxyaaaVVV 2 0 22 21 )2(2)2(，作代换)sin(ttax，则 22 3222232 00 8(cos )(sin )8sin(1 cos )Vaaatad ttaatt dt 22 223223 00 1 cos2 8(sinsin )7 2 t aadttdta 6求 222 ayx绕bx（0 ab）旋转而成的旋转体体积。 知识点知识点：旋转体体积 思路思路： 由图形的对称性可知所求体积 1 2VV ， 其中 1 V是由 222 ayx（0y） 部分， 绕bx 旋转而成的旋转体体积，又根据元素法， 1 V是由图形中的线段y（ 22 0xay）绕bx旋 转一周所得的圆柱面叠加而成，见图 6-3-6 0 r 图 6-3-6 bx dxxx 线段y aa 图 6-3-7 0 8 )cos1 (4 y r 解解： 1 2VV badxxabdxxabx a a a a 222222 24)(22 7由心形线)cos1 (4和射线0及 2 所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。 知识点知识点：旋转体体积 思路思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕 x 轴旋转 解解：平面区域D：04(1 cos ) （ 2 0 ），见图 6-3-7 心形线)cos1 (4的直角坐标表示： sin)cos1 (4 cos)cos1 (4 y x （80 x），根据直角坐标下的体积计算及 222 xy，得： 8 0 3 8 0 2 8 0 222 3 8 )(dxdxxdxyV 3 4(1 cos )cos 0 2 2 8 16(1 cos )4(1 cos )cos 3 x d 3 8 )cos1 ()cos1 ()cos1 (64 3 0 2 22 dd 160 3 8 )cos1 ( 3 1 )cos1 ( 2 1 64 3 0 2 34 8计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体 积。 知识点知识点：已知平行截面面积的立体体积 思路思路：首先以固定直径为 x 轴确立圆方程： 222 Ryx，再求垂直于 x 轴的截面面积，然后代入公 式。见图 6-3-8 x x y z 图 6-3-8 解解：以固定直径为 x 轴圆心为坐标原点，则圆方程为： 222 Ryx， 在圆内，垂直于 x 轴的截面面积)(32 2 3 2 2 1 )( 22 xRyyxA， 322 3 34 )(3RdxxRV R R 9求曲线axy )0(a与直线ax ，ax2及0y所围成的图形分别绕 ox 轴、oy 轴旋转 一周所产生的旋转体体积。 知识点知识点：旋转体体积 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 解解：平面图形 D： x a y axa 0 2 ，绕 x 轴旋转产生的立体体积： adx x a V a a 2 1 )( 2 2 ； 绕 y 轴旋转产生的立体体积： 2 2 22adx x a xV a a （绕 y 轴旋转产生的立体体积如同 1（2）也有两种计算法） 10 设直线baxy与直线0x，1x， 及0y所围成的梯形面积等于A， 试求a、b， 使这个梯形绕 x 轴旋转所得旋转体体积最小（0a，0b）。 知识点知识点：旋转体体积，以及最值问题 思路思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），进而求出以ba,为变量的旋转体体积，再求 最小值。 yaxb 解解：梯形区域D：10 x ，baxy0， 0 1 ) 3 ()( 2 2 1 0 2 bab a dxbaxV 由条件Abab)( 2 1 ，) 3 1 3 2 3 4 ()( 22 bAbAbV 0)( 3 2 )(AbbV，得Ab ，0a 习题习题 6 6- -4 4 1用定积分表示双曲线1xy上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。 思路思路：曲线表达为 x y 1 （或 y x 1 ）代入相应公式计算弧长 解解： 2 1 y x ，dx x dxys b a 2 1 4 2 1 11 2计算曲线xyln上相应于83 x的一段弧的弧长。 思路思路：曲线表达为xyln（或 y ex ）代入相应公式计算弧长 解解： 1 y x ，dt t t dx x x dx x dxys tx b a 8 3 2 8 3 2 2 8 3 2 2 1 2 1 ) 2 1 ( 11 11 2 2 3 ln 2 1 1) 1 1 ln 2 1 ( 1 3 2 3 2 2 2 1 u u udu u u ut 3计算曲线)3( 3 1 xxy上相应于31 x的一段弧的弧长。 解解： 111 () 222 x yx xx ， 3 4 32 3 2 2( 2 1 ) 2 1 4 )1 ( 11 3 1 2 3 3 1 3 1 2 2 xxdx x x dx x x dxys b a 4计算曲线yyxln 2 1 4 1 2 （ey 1）的弧长。 解解： 111 () 222 y xy yy ， 4 1 )ln 2 ( 2 1 2 1 ) 1 ( 4 1 11 2 1 2 1 2 1 22 e y y dy y y dy y ydyxs e eb a e 5计算抛物线pxy2 2 （0p）从顶点到其上点),(yxM的弧长。 思路思路：抛物线表达为2ypx（或 p y x 2 2 ），代入相应公式计算弧长 解解： y x p ， y y y b a dyyp p ydyyp p ydyyp p dxxs 0 22 0 22 0 22 2 1 0 , 1 0 , 1 1 p y p y tpy tttt p tdtp arctan 0 arctan 0 3 tan )tanseclntan(sec 2 sec p ypy p ypyp 22 2 22 ln( 2 （或通过公式dx x p dxys b a x 0 2 2 11计算） 6证明曲线xysin的一个周期（20 x）的弧长等于椭圆22 22 yx的周长。 思路思路：分别求出xysin的弧长 1 s及椭圆的周长 2 s，求椭圆周长时采用参数式求解 解解： xysin的弧长dxxdxxdxys b a 2 0 2 2 0 22 1 cos14cos11 dxx 2 0 2 sin14 椭圆方程表达为：txcos2，tysin；代入公式得弧长 dttdtttdtyxs 2 0 2 2 0 22 2 0 22 2 sin14cossin244 21 ss 7求对数螺线 a er 相应于自0至的一段弧的弧长。 思路思路：曲线是极坐标的表达式 a er ，因此代入公式 drrs )()( 22 解解： ) 1( 1 )()( 2 0 22222 aaa e a a deaedrrs 8求曲线1r相应于自 4 3 至 3 4 的一段弧的弧长。 思路思路：曲线是极坐标的表达式 1 r ，因此代入公式 drrs )()( 22 解解： 4 342 222 3 3 24 34 4 111 ( )( )(ln1)srrdd 2 3 ln 12 5 （其中dt tt tt dt tt tdt t t d t cossin cossin cossin 1 sec tan sec1 2 22 2 2 2 tan 2 2 2 2 2 1 1ln sin 1 tansecln) sin cos (sec C t ttdt t t t） 9 求曲线txarctan，)1ln( 2 1 2 ty相应于自0t至1t的一段弧的弧长。 思路思路：曲线是参数表达式( ),( )xtyt，因此代入公式dttts )()( 22 解解：dt t dt t t t dttts 1 02 1 0 22 2 22 22 1 1 )1 ()1 ( 1 )()( )21ln(1ln 1 0 2 tt 习题习题 6 6- -5 5 1设一质点距原点x米时，受xxxF2)( 2 牛顿力的作用，问质点在F作用下，从1x移动到 3x，力所做的功有多大？ 知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：当变力沿直线作功，质点从x至dxx段所作功的微元dxxFdW)(。 解解： 2 ( )(2 )dWF x dxxx dx 3 50 ) 3 ()2( 3 1 2 3 3 1 2 x x dxxxW 2某物体作直线运动，速度为)/(1smtv，求该物体自运动开始到s10末所经过的路程，并 求物体在前s10内的平均速度。 知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：变速直线运动物体在t至dtt 时间段内所经过路程的微元dttVdS)(。 解解：( )1dSV t dttdt ) 11111( 3 2 )1 ( 3 2 1 10 0 2 3 10 0 tdttS （m）； ) 11111( 30 2 10 S V（sm/） 3直径为 20cm，高为 80cm 的圆柱体内充满压强为 2 /10cmN的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽 体积缩小一半，问需要作多少功？ 知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：设P为压强、体积为V，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此当圆柱体的高 为h时，801010 , 10 2 2 k h k P。 解解：压力p=压强面积，当圆柱体的高为h时压力 2 800 10p h ， 功的微元dh h dW 80000 )( , 2ln800 80000 80 40 Nmdh h W 4半径为R的半球形水池充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？ 知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：设半球形水池的方程为 2222 Rzyx（0z），见图 6-5-4，则将z至dzz 薄片体 积的水吸出， 克服重力所作的功为zgdzzRdW)( 22 ，（是水的比重， 可取 1 3 /mkg） 解解： zgdzzRdW)( 22 ， )( 4 )( 4 0 22 Nm gR dzzRzgW R z dzz 0 x y z 图 6-5-4 5设有一半径为R，长度为l圆柱体平放在深度为R2的水池中（圆柱体的侧面与水面相切），设 圆柱体的比重为) 1(，现将圆柱体从水中移出水面，问需要作多少功？ 知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：设圆柱体的方程为 222 )(RyRx，见图 6-5-5，则将x至dxx段薄圆台为底高为l的 柱体移出水面，浮力减重力所作的功为 xgdxRxRlxgdxRxRldW 2222 1 )(2)(2， 另外，因要求整个柱体出水，因此该部分还需在空中移动xR2距离，该部分的功 )2()(2 22 2 xRgdxRxRldW 解解：dxxRRxRdWdWdW)2()(lg2 22 21 ， du )2lg(2)()2lg(2 22 2 0 22 R R R uRx uRRuRdxRxRxRW )( , ) 12() 12lg(2 322 NmglRduuRR R R 6有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶 2m，求闸门上所受的水压力。 知识点知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：由物理知识可知，水深h处的压强为hp， （为水的比重）以门顶中心为原点向下建立 x 轴， 见图 6-5-6，则在x至dxx段门条上所受的水压力为dxxdP2)2( x y x dxx )2(xR 0 R 图 6-5-5 解解：dxxdP2)2(， 21)2(2 3 0 dxxP 7洒水车的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如上图所示，当水箱装满水时计算水箱的一个端面所 受的压力。 知识点：微元法在物理上的应用 思路思路：设椭圆方程为1 75. 0 2 2 2 y x ，见图 6-5-7，则在x至dxx的一条端面上所受的水压力为 dx x xdP 2 2 75. 0 12)75. 0( 2 4 1.5 x y 图 6-5-7 x xdx 2 3 2 图 6-5-6 x 0 dxx x 解解：dx x xdP 2 2 75. 0 12)75. 0(， 2 0.75 2 0.752 ( 0.75) 1 0.75 x Pxdx 222 0.750.750.75 222 0.750.750.75 211.511.51 0.750.750.75 xxx xdxdxdx 1 1.50.751.77 ()17.3() 2 kgkN 8以等腰梯形闸门与铅直平面倾斜 30角置于水中，其闸门顶部位于水面处，上下底宽分别为 100m 和 10m，高为 70m，求此闸门一侧面所受到的水的静压